Dentre os vetores dados abaixo, determine as possíveis bases do espaço, isto é, determine todos os possíveis conjuntos de três vetores LI. , v5=(0,0,-2), v6=(3,1,-2), v7=(0,1,1), v8=(1,1,0).
Passo 1
O enunciado dá oito vetores em R^3:
v1=(1,1,0), v2=(2,0,-1), v3=(2,2,2), v4=(1,1,1),
v5=(0,0,-2), v6=(3,1,-2), v7=(0,1,1), v8=(1,1,0)
Queremos todos os subconjuntos de três vetores que sejam linearmente independentes (LI), i.e.\ que formem bases de R^3. Para isso, vamos usar dois critérios:
se dois vetores são colineares, qualquer conjunto que os contenha será dependente;
verificar casos especiais de três vetores coplanares mesmo sem colinearidade direta.
Passo 2
Identificamos pares colineares:
v8=v1, logo qualquer conjunto com v1,v8 é dependente;
v3=2,v4, logo qualquer conjunto com v3,v4 é dependente.
Assim, suprimimos todos os trios que contenham esses pares.
Passo 3
Há ainda quatro trios não imediatamente óbvios mas que são coplanares:
v1,v3,v5, v1,v4,v5, v8,v3,v5, v8,v4,v5
Nesses casos, de fato v5 fica no plano gerado pelos outros dois, gerando dependência.
Passo 4
Agora percorremos todos os índices 1<= i<j<k<=8, excluímos os que contêm pares colineares (1,8) ou (3,4), e também os quatro trios coplanares acima. O restante são exatamente os 40 trios LI.
Resposta
As bases possíveis (cada linha é um conjunto de três vetores LI) são: