Dentre os vetores dados abaixo, determine as possíveis bases do espaço, isto é, determine todos os possíveis conjuntos de três vetores LI.
v1=(1,1,0), v2=(2,0,-1), v3=(2,2,2), v4=(1,1,1),
v5=(0,0,-2), v6=(3,1,-2), v7=(0,1,1), v8=(1,1,0).

Passo 1

O enunciado dá oito vetores em R^3:
v1=(1,1,0), v2=(2,0,-1), v3=(2,2,2), v4=(1,1,1),
v5=(0,0,-2), v6=(3,1,-2), v7=(0,1,1), v8=(1,1,0)
Queremos todos os subconjuntos de três vetores que sejam linearmente independentes (LI), i.e.\ que formem bases de R^3. Para isso, vamos usar dois critérios:
  1. se dois vetores são colineares, qualquer conjunto que os contenha será dependente;
  2. verificar casos especiais de três vetores coplanares mesmo sem colinearidade direta.

Passo 2

Identificamos pares colineares:
  • v8=v1, logo qualquer conjunto com v1,v8 é dependente;
  • v3=2,v4, logo qualquer conjunto com v3,v4 é dependente.
Assim, suprimimos todos os trios que contenham esses pares.

Passo 3

Há ainda quatro trios não imediatamente óbvios mas que são coplanares:
v1,v3,v5, v1,v4,v5, v8,v3,v5, v8,v4,v5
Nesses casos, de fato v5 fica no plano gerado pelos outros dois, gerando dependência.

Passo 4

Agora percorremos todos os índices 1<= i<j<k<=8, excluímos os que contêm pares colineares (1,8) ou (3,4), e também os quatro trios coplanares acima. O restante são exatamente os 40 trios LI.

Resposta

As bases possíveis (cada linha é um conjunto de três vetores LI) são:
v1,v2,v3
v1,v2,v4
v1,v2,v5
v1,v2,v6
v1,v2,v7
v1,v3,v6
v1,v3,v7
v1,v4,v6
v1,v4,v7
v1,v5,v6
v1,v5,v7
v1,v6,v7
v2,v3,v5
v2,v3,v6
v2,v3,v7
v2,v3,v8
v2,v4,v5
v2,v4,v6
v2,v4,v7
v2,v4,v8
v2,v5,v6
v2,v5,v7
v2,v5,v8
v2,v6,v7
v2,v6,v8
v2,v7,v8
v3,v5,v6
v3,v5,v7
v3,v6,v7
v3,v6,v8
v3,v7,v8
v4,v5,v6
v4,v5,v7
v4,v6,v7
v4,v6,v8
v4,v7,v8
v5,v6,v7
v5,v6,v8
v5,v7,v8
v6,v7,v8.

Exercícios relacionados