Resolva z^2+2 z+7=0. Calcule o módulo das raízes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação quadrática z^2 + 2z + 7 = 0 . Aqui, estamos lidando com números complexos porque o discriminante da equação será negativo. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Bhaskara e depois calcular o módulo das raízes encontradas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação quadrática az^2 + bz + c = 0 . No nosso caso:
  • a = 1
  • b = 2
  • c = 7

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
z = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
z = -2 pm raiz2^2 - 4 times 1 times 72 times 1 = -2 pm raiz4 - 282 = -2 pm raiz-242

Passo 4

Como o discriminante ( raiz-24 ) é negativo, sabemos que as raízes serão números complexos. Podemos escrever raiz-24 como iraiz24 = i2raiz6 . Assim, as raízes ficam:
z = -2 pm 2iraiz62 = -1 pm iraiz6

Passo 5

Para encontrar o módulo de cada raiz complexa z = a + bi , usamos a fórmula:
|z| = raiza^2 + b^2
Aplicando aos nossos resultados:
|z| = raiz(-1)^2 + (raiz6)^2 = raiz1 + 6 = raiz7

Resposta

O módulo das raízes é raiz7 .

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