Calcule
arct(tg(x)), com x in]-pi / 2, pi / 2[.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver o exercício que pede para calcular arct(tg(x)), onde x está no intervalo ]-pi / 2, pi / 2[. Isso faz parte do conteúdo de funções trigonométricas e suas inversas. Para resolver, vamos precisar entender como a tangente e a arctangente funcionam e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tg(x) representa a função tangente de x. A tangente é uma função que relaciona o ângulo com a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo: tg(x) = sin(x)cos(x).

Passo 3

Agora, arct(tg(x)) parece ser uma abreviação para a arctangente, que é a função inversa da tangente. Em notação mais comum, usamos arctan ou arctg para representar a arctangente. Então, estamos calculando arctg(tg(x)).

Passo 4

A propriedade das funções inversas diz que aplicar a função inversa na função original retorna o valor inicial, ou seja, arctg(tg(x)) = x, desde que x esteja no domínio onde a tangente é invertida pela arctangente.

Passo 5

No nosso caso, o intervalo dado é ]-pi / 2, pi / 2[. Nesse intervalo, a função tangente é estritamente crescente e contínua, o que garante que a arctangente seja realmente a inversa da tangente. Portanto, podemos afirmar que arctg(tg(x)) = x para todo x nesse intervalo.

Resposta

arct(tg(x)) = x, com x in ]-pi / 2, pi / 2[.

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