Encontre a massa do cabo ao longo da curva
r(t)=3 t i+3 t^2 j+2 t^3 k (0 <= t <= 1)
se a densidade em r(t) está dada por 1+t gramas/unidade de comprimento.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa de um cabo cujo fio é descrito pela curva r(t)=3t, i+3t^2, j+2t^3, k para 0<= t<=1, e cuja densidade varia ao longo do comprimento segundo rho(t)=1+t. Isso envolve integrais de linha escalares e comprimento de arco.

Passo 2

Em teoria, a massa do cabo é dada por m=integralCrho,ds Como a curva está parametrizada por t, usamos ds=lVert r'(t)rVert,dt. Logo,
m=integral0^1(1+t),lVert r'(t)rVert,dt

Passo 3

Precisamos então calcular a derivada da posição e seu módulo. Derivando,
r'(t)=3, i+6t, j+6t^2, k

Passo 4

Portanto,
lVert r'(t)rVert=raiz9+36t^2+36t^4=3raiz(1+2t^2)^2=3(1+2t^2)

Passo 5

Substituindo em m:
m=integral0^1(1+t),3(1+2t^2),dt=3integral0^1(1+t+2t^2+2t^3),dt

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral0^1(1+t+2t^2+2t^3),dt=l[t+tfract^22+tfrac2t^33+tfrac2t^44r]0^1=1+tfrac12+tfrac23+tfrac12=tfrac83

Passo 7

Multiplicando por 3, obtemos a massa do cabo: m=3cdottfrac83=8.

Resposta

8 gramas

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