Encontre a massa do cabo ao longo da curva
se a densidade em
está dada por
gramas/unidade de comprimento.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a massa de um cabo cujo fio é descrito pela curva
para
, e cuja densidade varia ao longo do comprimento segundo
. Isso envolve integrais de linha escalares e comprimento de arco.
Passo 2
Em teoria, a massa do cabo é dada por
Como a curva está parametrizada por
, usamos
. Logo,
Passo 3
Precisamos então calcular a derivada da posição e seu módulo. Derivando,
Passo 4
Portanto,
Passo 5
Substituindo em
:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Passo 7
Multiplicando por 3, obtemos a massa do cabo:
.
Resposta
8 gramas