Utilizando o método dos coeficientes indeterminados, determine uma solução particular das seguintes E.D.Os não-homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente vai usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para achar soluções particulares de equações diferenciais não-homogêneas. No nosso caso, a equação é:
Vamos seguir passo a passo para encontrar uma solução particular para essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Isso nos ajuda a encontrar a solução complementar da equação original. A gente faz isso resolvendo a equação característica. Para a equação $ y’’ - 16 y = 0 $, a característica é:
Resolvendo para $ r $:
Então, as soluções da equação homogênea são exponenciais:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos para a parte não-homogênea da equação:
Queremos achar uma solução particular ($ y_p $) para essa equação. Usando o método dos coeficientes indeterminados, observamos o lado direito da equação, que é $ 11 e^{7x} $.
Como $ e^{7x} $ não aparece na solução complementar $ y_h $, podemos supor que a forma da solução particular seja uma exponencial da mesma base. Então, vamos tentar:
Onde $ A $ é uma constante que vamos determinar.
Passo 4
Para encontrar $ A $, precisamos calcular as derivadas de $ y_p $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Agora, substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes das exponenciais:
Resolvendo para $ A $:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: