Utilizando o método dos coeficientes indeterminados, determine uma solução particular das seguintes E.D.Os não-homogêneas:
y^prime prime+y^prime+y=x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que não é homogênea: . Isso significa que o lado direito da equação, , está empurrando a solução para fora da parte homogênea. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é ótimo pra achar uma solução particular quando a parte não homogênea é uma função bem comportada, tipo polinômios, exponenciais, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte que não é homogênea, que é . Ela é um polinômio de primeiro grau. No método dos coeficientes indeterminados, a gente supõe uma forma para a solução particular que seja parecida com essa parte não homogênea. Então, nossa aposta inicial para a solução particular vai ser algo como , onde e são constantes que a gente vai descobrir.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de yp = Ax + B . Vamos lá:
yp' = A
yp'' = 0

Passo 4

Substituímos 0 + A + (Ax + B) = x + 1 , Ax + (A + B) = x + 1 e na equação diferencial original:
Simplificando isso, ficamos com:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Ou seja:
Para o termo com A = 1 :
A + B = 1
Para o termo constante:

Passo 6

Com essas duas equações, vamos resolver para A = 1 e 1 + B = 1 implies B = 0 :

Resposta

A solução particular é .

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