Utilizando o método dos coeficientes indeterminados, determine uma solução particular das seguintes E.D.Os não-homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que não é homogênea:
. Isso significa que o lado direito da equação,
, está empurrando a solução para fora da parte homogênea. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é ótimo pra achar uma solução particular quando a parte não homogênea é uma função bem comportada, tipo polinômios, exponenciais, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte que não é homogênea, que é
. Ela é um polinômio de primeiro grau. No método dos coeficientes indeterminados, a gente supõe uma forma para a solução particular que seja parecida com essa parte não homogênea. Então, nossa aposta inicial para a solução particular vai ser algo como
, onde
e
são constantes que a gente vai descobrir.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
. Vamos lá:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando isso, ficamos com:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Ou seja:
Para o termo com
:
Para o termo constante:
Passo 6
Com essas duas equações, vamos resolver para
e
:
Resposta
A solução particular é
.