Resolva as E.D.O.'s e os P.V.I.'s a seguir:
c6 y^prime prime-5 y^prime+y=0 y(0)=4 y^prime(0)=0

Passo 1

O P.V.I. é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
6,y'' - 5,y' + y = 0,
com condições iniciais y(0)=4 e y'(0)=0. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^r x. Substituindo na E.D.O. obtemos a equação característica:
6,r^2 - 5,r + 1 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-5)^2 - 4cdot6cdot1 = 25 - 24 = 1
Logo as raízes são
r = 5 pm raiz12cdot6 = 5 pm 112,
isto é,
r1 = 612 = tfrac12, r2 = 412 = tfrac13

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = C1 e^tfrac12 x + C2 e^tfrac13 x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Derivando, temos
y'(x) = tfrac12,C1 e^tfrac12 x + tfrac13,C2 e^tfrac13 x
Aplicando x=0 nas condições iniciais:
y(0)=C1 + C2 = 4,
y'(0)=tfrac12,C1 + tfrac13,C2 = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 4,[6pt] tfrac12,C1 + tfrac13,C2 = 0,
multiplicamos a segunda equação por 6:
3,C1 + 2,C2 = 0 ;Longrightarrow; C1 = -tfrac23C2
Substituindo em C1 + C2=4:
-tfrac23C2 + C2 = 4 ;Longrightarrow; tfrac13C2 = 4 ;Longrightarrow; C2 = 12,
C1 = -tfrac23cdot12 = -8 ]

Resposta

boxedy(x) = -8,e^tfrac12 x + 12,e^tfrac13 x

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