(2 pontos) Considere a integral
(a) Esboce a região de integração.
(b) Calcule a integral trocando a ordem de integração.
(b) Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede que a gente trabalhe com a integral iterada
fazendo (a) um esboço da região de integração e (b) o cálculo trocando a ordem de integração. Isso envolve entender como descrever a região no plano
, projetá-la no eixo
, e então aplicar Fubini e uma substituição para computar a integral.
Passo 2
Para esboçar a região, observamos as desigualdades que definem o domínio:
A linha
corresponde a
. Quando
,
vai de
até
; quando
,
vai de
até
. Logo a região é o triângulo de vértices
,
e
, limitado por
,
e
.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, projetamos essa região no eixo
. Vemos que
varia de
até
. Para cada
fixo,
vai desde a reta
até
. Assim a integral vira
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Então a integral total fica
Passo 5
Para calcular
, usamos
,
. Assim
Multiplicando por
obtemos
.
Resposta
(a) A região é o triângulo de vértices
,
e
, limitado por
,
e
.
(b)
(b)