(2 pontos) Considere a integral
integral0^1 integral3 y^3 e^x^2 d x d y
(a) Esboce a região de integração.
(b) Calcule a integral trocando a ordem de integração.

Passo 1

O enunciado pede que a gente trabalhe com a integral iterada
integral0^1integral3y^3e^x^2,dx,dy,
fazendo (a) um esboço da região de integração e (b) o cálculo trocando a ordem de integração. Isso envolve entender como descrever a região no plano (x,y), projetá-la no eixo x, e então aplicar Fubini e uma substituição para computar a integral.

Passo 2

Para esboçar a região, observamos as desigualdades que definem o domínio:
0<= y<=1, 3y<= x<=3
A linha x=3y corresponde a y=tfracx3. Quando y=0, x vai de 0 até 3; quando y=1, x vai de 3 até 3. Logo a região é o triângulo de vértices (0,0), (3,0) e (3,1), limitado por y=0, x=3 e x=3y.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, projetamos essa região no eixo x. Vemos que x varia de 0 até 3. Para cada x fixo, y vai desde a reta y=0 até y=tfracx3. Assim a integral vira
integral0^3integral0^x/3e^x^2,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y:
integral0^x/3e^x^2,dy =e^x^2l[yr]0^x/3 =e^x^2cdotx3
Então a integral total fica
integral0^3e^x^2x3,dx =13integral0^3x,e^x^2,dx

Passo 5

Para calcular integral0^3x,e^x^2,dx, usamos u=x^2, du=2x,dx. Assim
integral0^3x,e^x^2,dx =12integralu=0^u=9e^u,du =12l[e^ur]0^9 =e^9-12
Multiplicando por tfrac13 obtemos tfrace^9-16.

Resposta

(a) A região é o triângulo de vértices (0,0), (3,0) e (3,1), limitado por y=0, x=3 e x=3y.
(b) e^9-16

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