Encontre a integral que dá o comprimento de arco total da curva dada.
r^2=9 cos (2 theta)

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r^2=9cos(2theta)
e pede a integral que fornece o comprimento de arco total.
O conteúdo usado será a fórmula do comprimento de arco em polares:
s=integral raizr^2+l(tfracdrdthetar)^2;dtheta

Passo 2

Precisamos de tfracdrdtheta. Partindo de
r^2=9cos(2theta),
derivamos em relação a theta:
2r,drdtheta=-18sin(2theta) Longrightarrow drdtheta=-9sin(2theta)r
Como r=3raizcos(2theta), temos
l(tfracdrdthetar)^2 =81sin^2(2theta)9cos(2theta) =9sin^2(2theta)cos(2theta)
Então
r^2+l(tfracdrdthetar)^2 =9cos(2theta)+9sin^2(2theta)cos(2theta) =9cos^2(2theta)+sin^2(2theta)cos(2theta) =9cos(2theta),
e a raiz é
raizr^2+l(tfracdrdthetar)^2 =3raizcos(2theta)

Passo 3

A curva existe onde cos(2theta)>=0, isto é em cada laço para thetain[-tfracpi4,tfracpi4] e simetricamente em [tfrac3pi4,tfrac5pi4]. Pelo par de laços e pela paridade do integrando, o comprimento total é
L =2integral-pi/4^pi/43raizcos(2theta),dtheta =4integral0^pi/43raizcos(2theta),dtheta =12integral0^pi/4l(cos(2theta)r)^-tfrac12dtheta

Resposta

L=12integral0^pi/4l(cos(2theta)r)^-tfrac12dtheta

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