Verifique se a equação é exata. Se for, resolva.
(2 y x^2+4) y^prime+2 y^2 x-3=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação (2y x^2+4)y'+2y^2x-3=0 é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas; vamos precisar reescrever a ODE na forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 e checar a condição de exatidão.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial, usamos y'=dy/dx e obtemos
M(x,y),dx+N(x,y),dy=(2y^2x-3),dx+(2yx^2+4),dy=0
Então
M(x,y)=2y^2x-3 e N(x,y)=2yx^2+4.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=4yx, partial Npartial x=4yx
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Para obter a função potencial Psi(x,y), integramos M em relação a x:
Psi(x,y)=integral(2y^2x-3),dx=y^2x^2-3x+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Diferenciamos Psi em relação a y e igualamos a N:
partialPsipartial y=2yx^2+h'(y)=2yx^2+4
Logo h'(y)=4 e, integrando, h(y)=4y (constante absorbida em C).

Passo 6

A solução geral implícita é
Psi(x,y)=y^2x^2-3x+4y=C

Resposta

y^2 x^2 - 3x + 4y = C

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