Verifique se a equação é exata. Se for, resolva.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas; vamos precisar reescrever a ODE na forma
e checar a condição de exatidão.
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial, usamos
e obtemos
Então
e
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Para obter a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
e, integrando,
(constante absorbida em
).
Passo 6
A solução geral implícita é
Resposta
y^2 x^2 - 3x + 4y = C