Verifique se a equação é exata. Se for, resolva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a equação diferencial
é exata. Se for, a gente resolve ela. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas. Precisamos identificar partes da equação que correspondem a funções conhecidas e aplicar alguns testes para ver se ela é exata.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais exatas, que é
. Vamos reescrever a nossa equação:
Aqui, podemos identificar:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos checar se:
Vamos calcular cada uma:
-
(porque não tem ) -
(porque não tem )
Passo 4
Como
(ambos são 0), a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 5
Vamos encontrar a função potencial
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
, que aparece porque a derivada em relação a
elimina essa parte.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda equação
para encontrar
:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 7
Agora, podemos escrever a função potencial completa
:
Para resolver a equação diferencial, igualamos
a uma constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.