Verifique se a equação é exata. Se for, resolva.
(3 y+7) y^prime+2 x-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a equação diferencial (3 y + 7) y' + 2x - 1 = 0 é exata. Se for, a gente resolve ela. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas. Precisamos identificar partes da equação que correspondem a funções conhecidas e aplicar alguns testes para ver se ela é exata.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais exatas, que é M(x, y) + N(x, y) y' = 0. Vamos reescrever a nossa equação:
(3 y + 7) y' + (2x - 1) = 0
Aqui, podemos identificar:
  • M(x, y) = 2x - 1
  • N(x, y) = 3y + 7

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa ver se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x. Ou seja, precisamos checar se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular cada uma:
  • partial Mpartial y = partialpartial y(2x - 1) = 0 (porque não tem y)
  • partial Npartial x = partialpartial x(3y + 7) = 0 (porque não tem x)

Passo 4

Como partial Mpartial y = partial Npartial x (ambos são 0), a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M(x, y) = 2x - 1
partial Fpartial y = N(x, y) = 3y + 7

Passo 5

Vamos encontrar a função potencial F(x, y) integrando M(x, y) em relação a x:
F(x, y) = integral (2x - 1) , dx = x^2 - x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende só de y, que aparece porque a derivada em relação a x elimina essa parte.

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda equação partial Fpartial y = 3y + 7 para encontrar h(y):
partial Fpartial y = ddy(x^2 - x + h(y)) = h'(y) = 3y + 7
Integrando h'(y) em relação a y:
h(y) = integral (3y + 7) , dy = 32 y^2 + 7y + C
Onde C é uma constante de integração.

Passo 7

Agora, podemos escrever a função potencial completa F(x, y):
F(x, y) = x^2 - x + 32 y^2 + 7y + C
Para resolver a equação diferencial, igualamos F(x, y) a uma constante K:
x^2 - x + 32 y^2 + 7y = K

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x^2 - x + 32 y^2 + 7y = C
onde C é uma constante.

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