Resolva a E.D.O, utilizando o método de separação de variáveis (ou equações separáveis).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial dada:
A matéria envolvida aqui é a resolução de equações diferenciais ordinárias usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos separar as variáveis e para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que todos os termos envolvendo fiquem de um lado e os termos envolvendo fiquem do outro. Isso fica assim:
Agora, separamos as variáveis dividindo ambos os lados por e multiplicando por :
Passo 3
Em seguida, precisamos integrar ambos os lados dessa equação. Isso nos leva a:
Aqui, vamos resolver cada integral uma de cada vez.
Passo 4
Vamos resolver a integral da esquerda:
Perceba que pode ser fatorado como . Reconhecendo isso, podemos usar uma fração parcial ou lembrar que a integral de é conhecida. Assim, temos:
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Agora, integramos o lado direito:
integral dx = x + C
Então, juntando tudo, temos: 14 ln | y - 2y + 2 | = x + C
Passo 6
Finalmente, para deixar ln | y - 2y + 2 | = 4x + C' isolado, vamos resolver a equação para y - 2y + 2 = e^4x + C' = Ke^4x. Multiplicando ambos os lados por 4:
y = 2(1 + Ke^4x)1 - Ke^4x
Onde . Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante. Agora, resolvendo para :
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 2(1 + K e^4x)1 - K e^4x
Onde é a constante de integração.