Resolva a E.D.O, utilizando o método de separação de variáveis (ou equações separáveis).
y^prime=y^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial dada:
y^prime = y^2 - 4
A matéria envolvida aqui é a resolução de equações diferenciais ordinárias usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que todos os termos envolvendo dydx = y^2 - 4 fiquem de um lado e os termos envolvendo dyy^2 - 4 = dx fiquem do outro. Isso fica assim:

Agora, separamos as variáveis dividindo ambos os lados por e multiplicando por :

Passo 3

Em seguida, precisamos integrar ambos os lados dessa equação. Isso nos leva a:
integral dyy^2 - 4 = integral dx
Aqui, vamos resolver cada integral uma de cada vez.

Passo 4

Vamos resolver a integral da esquerda:
integral dyy^2 - 4
Perceba que integral dyy^2 - 4 = 14 ln | y - 2y + 2 | + C pode ser fatorado como . Reconhecendo isso, podemos usar uma fração parcial ou lembrar que a integral de é conhecida. Assim, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, integramos o lado direito:
integral dx = x + C
Então, juntando tudo, temos:
14 ln | y - 2y + 2 | = x + C

Passo 6

Finalmente, para deixar ln | y - 2y + 2 | = 4x + C' isolado, vamos resolver a equação para y - 2y + 2 = e^4x + C' = Ke^4x. Multiplicando ambos os lados por 4:
y = 2(1 + Ke^4x)1 - Ke^4x
Onde . Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante. Agora, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 2(1 + K e^4x)1 - K e^4x
Onde é a constante de integração.

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