Resolva a E.D.O, utilizando o método do fator integrante.
y^prime-3 y=0

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO de primeira ordem linear
y'-3y=0
usando o método do fator integrante. Numa EDO linear de primeira ordem, escrevemos sempre na forma
y'+p(x)y=q(x)
Aqui temos p(x)=-3 e q(x)=0. Vamos usar o método do fator integrante, que consiste em multiplicar a equação por uma função mu(x) adequada para transformar o lado esquerdo na derivada de um produto.

Passo 2

Identificamos p(x)=-3. Calculamos o fator integrante:
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral(-3),dx=e^-3x
Multiplicando a EDO original por mu(x), obtemos
e^-3xy'-3e^-3xy=0
Esse lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^-3xy.

Passo 3

Reconhecemos que
ddxl(e^-3xyr)=0
Integrando em relação a x, vem
e^-3xy=C,
onde C é constante de integração. Finalmente, isolamos y:
y=C,e^3x

Resposta

y=C e^3x

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