Resolva a E.D.O, utilizando o método do fator integrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo $ y’ + 4y = 1 $. A matéria que vamos usar aqui é a resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, especificamente usando o método do fator integrante. Para isso, precisamos entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Ela está na forma $ y’ + P(x)y = Q(x) $, onde:
- $ P(x) = 4 $
- $ Q(x) = 1 $
Isso nos ajuda a ver que é uma equação linear de primeira ordem, o que é perfeito para usar o fator integrante.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
No nosso caso, $ P(x) = 4 $, então:
Esse fator vai ser usado para simplificar a equação diferencial.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{4x} $:
Isso simplifica a equação e nos prepara para integrar.
Passo 5
Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ y \cdot e^{4x} $. Ou seja:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos $ y $ para encontrar a solução geral da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: