Resolva a E.D.O, utilizando o método do fator integrante.
y^prime+4 y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo $ y’ + 4y = 1 $. A matéria que vamos usar aqui é a resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, especificamente usando o método do fator integrante. Para isso, precisamos entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Ela está na forma $ y’ + P(x)y = Q(x) $, onde:
  • $ P(x) = 4 $
  • $ Q(x) = 1 $
Isso nos ajuda a ver que é uma equação linear de primeira ordem, o que é perfeito para usar o fator integrante.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
No nosso caso, $ P(x) = 4 $, então:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Esse fator vai ser usado para simplificar a equação diferencial.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{4x} $:
e^4x
Isso simplifica a equação e nos prepara para integrar.

Passo 5

Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ y \cdot e^{4x} $. Ou seja:
y cdot e^4x
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
ddx ( y cdot e^4x ) = e^4x
x
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos $ y $ para encontrar a solução geral da equação:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 14 + C e^-4x

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