Verdadeiro (V) ou Falso (F)
a)()Se uma função f(x, y ) é diferenciável no ponto (a, b) então f é continua em (a, b)
b) ( ) Se as derivadas parciais de f(x, y) são continuas em (a, b) então f é diferenciáel em (a , b)
c) ( ) Se f(x, y) é contínua no ponto (a, b) então f(x, y ) é diferenciável em (a, b)
d) ( ) A função f(x, y) é diferenciável em (a , b), se puder ser aproximada por um plano tangente à superfície em (a, b)
e)()Se f(x, y) é contínua em (a , b) então f é diferenciável em (a, b)
f)( )Se f(x, y) é diferenciável em (a, b) então suas derivadas parciais são contínuas em (a ,b)
g) ( ) Se f(x, y) tem derivada direcional em todas as direções a partir de (a, b) então f é diferenciável
h) ( ) Toda função f(x, y) contínua admite um extremo relativo ou um ponto de sela
i) ( ) Toda função f(x, y) contínua num conjunto fechado e limitado admite um extremo absoluto

Passo 1

O enunciado pede para classificar como Verdadeiro (V) ou Falso (F) várias afirmações sobre continuidade, diferenciabilidade, derivadas parciais, derivadas direcionais, plano tangente e existência de extremos para funções de duas variáveis. Vamos usar definições e teoremas clássicos de análise de funções de várias variáveis para cada item.

Passo 2

A afirmação (a) diz que se uma função f(x,y) é diferenciável em (a,b) então ela é contínua em (a,b). Pela definição de diferenciabilidade (que exige que o erro do modelo linear divido pela norma do vetor colapso a zero), segue-se imediatamente que a função é contínua. Logo, (a) é Verdadeiro.

Passo 3

O item (b) afirma que se as derivadas parciais de f(x,y) são contínuas em (a,b) então f é diferenciável em (a,b). Esse é um resultado padrão: existência e continuidade das derivadas parciais num entorno implicam diferenciabilidade no ponto. Portanto, (b) é Verdadeiro.

Passo 4

As afirmações © e (e) dizem que continuidade em (a,b) implica diferenciabilidade em (a,b). Isso é falso: existe função contínua mas com “cantos” ou “quinas” (por exemplo, f(x,y)=|x| no eixo) que não é diferenciável. Logo, © e (e) são Falsas.

Passo 5

O item (d) descreve uma caracterização da diferenciabilidade: f(x,y) é diferenciável em (a,b) se existir um plano tangente que aproxime f localmente pelo modelo linear. Isso corresponde exatamente à definição de diferenciabilidade em várias variáveis. Então, (d) é Verdadeiro.

Passo 6

A afirmação (f) sustenta que diferenciabilidade em (a,b) implica continuidade das derivadas parciais em (a,b). Isso não é garantia: há exemplos de funções diferenciáveis cujas derivadas parciais não são contínuas. Por isso, (f) é Falsa.

Passo 7

O item (g) diz que existência de derivada direcional em todas as direções garante diferenciabilidade. Também é falso: as derivadas direcionais podem existir em todo vetor sem que o mapeamento seja linear, portanto não há diferenciabilidade garantida. Assim, (g) é Falsa.

Passo 8

A afirmação (h) sugere que toda função contínua f(x,y) admite um extremo relativo ou ponto de sela. Isso não é verdade: por exemplo, f(x,y)=x não tem extremos nem sela. Logo, (h) é Falsa.

Passo 9

Finalmente, (i) lembra o Teorema de Weierstrass: função contínua em conjunto fechado e limitado (compacto) atinge valores mínimo e máximo absolutos. Daí, (i) é Verdadeiro.

Resposta

a) V, b) V, c) F, d) V, e) F, f) F, g) F, h) F, i) V

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