Verdadeiro (V) ou Falso (F)
a)()Se uma função
) é diferenciável no ponto (a, b) então f é continua em (a, b)
b) ( ) Se as derivadas parciais de
são continuas em (a, b) então f é diferenciáel em (a , b)
c) ( ) Se
é contínua no ponto (a, b) então
) é diferenciável em (a, b)
d) ( ) A função
é diferenciável em (a , b), se puder ser aproximada por um plano tangente à superfície em (a, b)
e)()Se f(x, y) é contínua em (a , b) então f é diferenciável em (a, b)
f)( )Se f(x, y) é diferenciável em (a, b) então suas derivadas parciais são contínuas em (a ,b)
g) ( ) Se f(x, y) tem derivada direcional em todas as direções a partir de (a, b) então f é diferenciável
h) ( ) Toda função
contínua admite um extremo relativo ou um ponto de sela
i) ( ) Toda função f(x, y) contínua num conjunto fechado e limitado admite um extremo absoluto
a)()Se uma função
b) ( ) Se as derivadas parciais de
c) ( ) Se
d) ( ) A função
e)()Se f(x, y) é contínua em (a , b) então f é diferenciável em (a, b)
f)( )Se f(x, y) é diferenciável em (a, b) então suas derivadas parciais são contínuas em (a ,b)
g) ( ) Se f(x, y) tem derivada direcional em todas as direções a partir de (a, b) então f é diferenciável
h) ( ) Toda função
i) ( ) Toda função f(x, y) contínua num conjunto fechado e limitado admite um extremo absoluto
Passo 1
O enunciado pede para classificar como Verdadeiro (V) ou Falso (F) várias afirmações sobre continuidade, diferenciabilidade, derivadas parciais, derivadas direcionais, plano tangente e existência de extremos para funções de duas variáveis. Vamos usar definições e teoremas clássicos de análise de funções de várias variáveis para cada item.
Passo 2
A afirmação (a) diz que se uma função
é diferenciável em
então ela é contínua em
. Pela definição de diferenciabilidade (que exige que o erro do modelo linear divido pela norma do vetor colapso a zero), segue-se imediatamente que a função é contínua. Logo, (a) é Verdadeiro.
Passo 3
O item (b) afirma que se as derivadas parciais de
são contínuas em
então
é diferenciável em
. Esse é um resultado padrão: existência e continuidade das derivadas parciais num entorno implicam diferenciabilidade no ponto. Portanto, (b) é Verdadeiro.
Passo 4
As afirmações © e (e) dizem que continuidade em
implica diferenciabilidade em
. Isso é falso: existe função contínua mas com “cantos” ou “quinas” (por exemplo,
no eixo) que não é diferenciável. Logo, © e (e) são Falsas.
Passo 5
O item (d) descreve uma caracterização da diferenciabilidade:
é diferenciável em
se existir um plano tangente que aproxime
localmente pelo modelo linear. Isso corresponde exatamente à definição de diferenciabilidade em várias variáveis. Então, (d) é Verdadeiro.
Passo 6
A afirmação (f) sustenta que diferenciabilidade em
implica continuidade das derivadas parciais em
. Isso não é garantia: há exemplos de funções diferenciáveis cujas derivadas parciais não são contínuas. Por isso, (f) é Falsa.
Passo 7
O item (g) diz que existência de derivada direcional em todas as direções garante diferenciabilidade. Também é falso: as derivadas direcionais podem existir em todo vetor sem que o mapeamento seja linear, portanto não há diferenciabilidade garantida. Assim, (g) é Falsa.
Passo 8
A afirmação (h) sugere que toda função contínua
admite um extremo relativo ou ponto de sela. Isso não é verdade: por exemplo,
não tem extremos nem sela. Logo, (h) é Falsa.
Passo 9
Finalmente, (i) lembra o Teorema de Weierstrass: função contínua em conjunto fechado e limitado (compacto) atinge valores mínimo e máximo absolutos. Daí, (i) é Verdadeiro.
Resposta
a) V, b) V, c) F, d) V, e) F, f) F, g) F, h) F, i) V