Resolva as desigualdades, expressando a solução na forma de intervalo, quando possível.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade |x-1|(x^2-2)x-1>0, que envolve valor absoluto e polinômio de segundo grau. Vamos usar a definição de valor absoluto e estudo de sinais para encontrar os intervalos em que a expressão é positiva. A variável deve respeitar a restrição de domínio xneq1.

Passo 2

Analisamos primeiro a fração |x-1|x-1. Pelo conceito de valor absoluto, temos:
|x-1|x-1= 1, & x>1, -1, & x<1
Isso permite escrever a expressão original em forma de função por partes.

Passo 3

Para x>1, a expressão vira
|x-1|(x^2-2)x-1=(+1),(x^2-2)=x^2-2>0
Logo, x^2>2 e, como já impusemos x>1, concluímos que x>raiz2.
Para x<1, a expressão vira
|x-1|(x^2-2)x-1=(-1),(x^2-2)=-(x^2-2)>0
Isto é equivalente a x^2-2<0, ou seja x^2<2, o que dá -raiz2. Mas somamos a condição x<1, resultando em -raiz2.

Passo 4

Unimos os resultados de ambos os casos, sempre evitando incluir os pontos onde a expressão vale zero ( x=pmraiz2) ou está indefinida ( x=1). Assim, a solução da desigualdade é a união dos intervalos
(-raiz2,,1);cup;(raiz2,,infty)

Resposta

(-\sqrt{2},1)\cup(\sqrt{2},\infty)

Exercícios relacionados