Resolva as desigualdades, expressando a solução na forma de intervalo, quando possível.

Passo 1

Na questão temos a desigualdade racional
6 - x - x^2(x^2+x+1)(x+4)(x-6)^2 >= 0,
que pertence ao conteúdo de inequações envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar identificar zeros do numerador, pontos em que o denominador se anula (para excluir da solução), montar o diagrama de sinais e então verificar onde a fração é não negativa.

Passo 2

Vamos analisar primeiro o numerador e o denominador separadamente. O numerador é
6 - x - x^2=0 implies x^2 + x - 6=0 implies (x+3)(x-2)=0,
portanto suas raízes são x=-3 e x=2. O denominador é o produto dos fatores
x^2+x+1 (que não zera para nenhum xinR pois seu discriminante é negativo), x+4 (raiz em x=-4) e (x-6)^2 (raiz dupla em x=6). Logo o domínio exige xneq -4 e xneq 6.

Passo 3

Agora vamos ver o sinal de cada fator em intervalos determinados pelos pontos críticos -4,-3,2,6:
  • x^2+x+1>0 para todo x.
  • x+4 é negativo se x<-4 e positivo se x>-4.
  • x-6)^2 é sempre não negativo e anula em x=6, mas como é de multiplicidade par não muda o sinal ao atravessar esse ponto.
  • O numerador 6 - x - x^2 é positivo entre -3,2 e negativo para x<-3 ou x>2.

Passo 4

Vamos montar o diagrama de sinais testando um valor em cada intervalo:
Intervalo (-infty,-4) (-4,-3) (-3,2) (2,6) (6,infty)
Sinal numerador - - + - -
Sinal denominador - + + + +
Sinal da fração + - + - -
Desse modo, a expressão é não negativa em (-infty,-4) e em (-3,2), lembrando que nos pontos x=-3 e x=2 o valor da fração é zero e podem ser incluídos. Já x=-4 e x=6 são excluídos por anular o denominador.

Passo 5

Como queremos >= 0, reunimos os intervalos onde o sinal é positivo e incluímos as raízes do numerador, excluindo os pontos onde a função não está definida. A solução final é
final_answer":" (-infty,-4)cup[-3,2]"

Passo 6

final_answer

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