Resolva as desigualdades, expressando a solução na forma de intervalo, quando possível.
Passo 1
Na questão temos a desigualdade racional
que pertence ao conteúdo de inequações envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar identificar zeros do numerador, pontos em que o denominador se anula (para excluir da solução), montar o diagrama de sinais e então verificar onde a fração é não negativa.
Passo 2
Vamos analisar primeiro o numerador e o denominador separadamente. O numerador é
portanto suas raízes são
Passo 3
Agora vamos ver o sinal de cada fator em intervalos determinados pelos pontos críticos
:
-
para todo . -
é negativo se e positivo se . -
é sempre não negativo e anula em , mas como é de multiplicidade par não muda o sinal ao atravessar esse ponto. - O numerador
é positivo entre e negativo para ou .
Passo 4
Vamos montar o diagrama de sinais testando um valor em cada intervalo:
Intervalo |
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---|---|---|---|---|---|
Sinal numerador | - | - | + | - | - |
Sinal denominador | - | + | + | + | + |
Sinal da fração | + | - | + | - | - |
Desse modo, a expressão é não negativa em
e em
, lembrando que nos pontos
e
o valor da fração é zero e podem ser incluídos. Já
e
são excluídos por anular o denominador.
Passo 5
Como queremos
, reunimos os intervalos onde o sinal é positivo e incluímos as raízes do numerador, excluindo os pontos onde a função não está definida. A solução final é
final_answer":" "
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Passo 6
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