Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede resolver a desigualdade composta
Ou seja, encontrar todos os números reais
que satisfazem ao mesmo tempo as duas desigualdades que estão encadeadas no enunciado. As informações dadas são exatamente essa expressão; não há outros dados.
Passo 2
Vamos separar a desigualdade composta em duas desigualdades simples e resolver cada uma delas.
Primeira desigualdade (a da esquerda):
Resolver isso é fazer operações algébricas mantendo o sentido da desigualdade. Somando
em ambos os lados:
Dividindo por
(número positivo, então o sentido não muda):
Agora interpretar
: isso significa que a distância de
até
(ou seja,
) é pelo menos
. Assim:
(Dica rápida: para resolver
com
obtém-se
, que dá duas regiões fora do intervalo
.)
Passo 3
Segunda desigualdade (a da direita):
Somando
em ambos os lados:
Dividindo por
:
Interpretando
: isso significa
, ou equivalentemente
(Dica: para
com
tem-se
, que dá um intervalo centrado em zero.)
Passo 4
Agora precisamos dos
que satisfazem ambas as condições ao mesmo tempo: a da Passo 2 e a da Passo 3. Em termos de valor absoluto, as duas condições são
Portanto
deve satisfazer
Isto descreve os
que estão a uma distância de
entre
e
, inclusive.
Passo 5
Para ter certeza, vale testar alguns valores rápidos:
-
: , que não está entre e — logo não vale. -
: , que cabe (ponto extremo). -
(ou ): então , que está entre e — funciona. -
: , não cabe — portanto fora.
Esses testes confirmam a consistência do resultado obtido.