Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A incógnita é
e pode ser qualquer número real. -
é um número positivo fixo (a raiz quadrada de ). - Queremos encontrar todos os
que tornam a expressão maior ou igual a zero.
Nenhuma outra restrição de domínio foi dada, então trabalhamos sobre todos os reais.
Passo 2
Vamos reescrever a expressão e fatorá‑la, porque desigualdades com produtos são fáceis de analisar:
Explicando: foi fatorado
em evidência. Agora temos o produto de dois fatores
e
.
Passo 3
Encontremos os pontos onde a expressão vale zero (raízes), pois eles dividem a reta em intervalos onde o sinal é constante.
Resolver dá as equações:
Resolver
Então os pontos críticos são
e
. Eles particionam a reta real em três intervalos:
,
e
.
Passo 4
Agora analisamos o sinal do produto
. Regra-chave: um produto é não negativo (≥0) quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos ≥0 ou ambos ≤0). Vamos considerar os dois casos:
Caso 1 — ambos não negativos:
A segunda condição dá
. A interseção das duas condições é
Caso 2 — ambos não positivos:
A segunda condição é
. A interseção das duas é simplesmente
pois exigir
e
(valor aproximado de
) é equivalente a
.
Juntando os dois casos (união dos conjuntos) e lembrando que nos pontos onde um dos fatores é zero a desigualdade com “
” é satisfeita, obtemos
Passo 5
(Pequena verificação e interpretação geométrica para fixar a ideia.)
A função é um polinômio do segundo grau com coeficiente de
positivo (
), então é uma parábola voltada para cima. Logo
fora das raízes e
entre as raízes. Como as raízes são
e
, isso confirma a solução que encontramos. Exemplos rápidos:
dá
(está na região válida) e
dá
(está fora).
A função
Passo 6
Conclusão: a solução da desigualdade é a união dos intervalos obtidos na análise de sinal.