Resolva as desigualdades.
3 x^{2}-\sqrt{5} x \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade \,3x^{2}-\sqrt{5}\,x\geq 0\,.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A incógnita é x e pode ser qualquer número real.
  • \sqrt{5} é um número positivo fixo (a raiz quadrada de 5).
  • Queremos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a expressão maior ou igual a zero.
    Nenhuma outra restrição de domínio foi dada, então trabalhamos sobre todos os reais.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão e fatorá‑la, porque desigualdades com produtos são fáceis de analisar:
3x^{2}-\sqrt{5}\,x = x\bigl(3x-\sqrt{5}\bigr).
Explicando: foi fatorado x em evidência. Agora temos o produto de dois fatores x e 3x-\sqrt{5}.

Passo 3

Encontremos os pontos onde a expressão vale zero (raízes), pois eles dividem a reta em intervalos onde o sinal é constante.
Resolver x\bigl(3x-\sqrt{5}\bigr)=0 dá as equações:
x=0 \qquad\text{ou}\qquad 3x-\sqrt{5}=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{5}}{3}.
Então os pontos críticos são x=0 e x=\dfrac{\sqrt{5}}{3}. Eles particionam a reta real em três intervalos: (-\infty,0), (0,\tfrac{\sqrt{5}}{3}) e (\tfrac{\sqrt{5}}{3},\infty).

Passo 4

Agora analisamos o sinal do produto x(3x-\sqrt{5}). Regra-chave: um produto é não negativo (≥0) quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos ≥0 ou ambos ≤0). Vamos considerar os dois casos:
Caso 1 — ambos não negativos:
x\geq 0 \quad\text{e}\quad 3x-\sqrt{5}\geq 0.
A segunda condição dá x\geq \dfrac{\sqrt{5}}{3}. A interseção das duas condições é
x\geq \dfrac{\sqrt{5}}{3}.
Caso 2 — ambos não positivos:
x\leq 0 \quad\text{e}\quad 3x-\sqrt{5}\leq 0.
A segunda condição é x\leq \dfrac{\sqrt{5}}{3}. A interseção das duas é simplesmente
x\leq 0,
pois exigir x\leq 0 e x\leq 0{,}745\ldots (valor aproximado de \tfrac{\sqrt{5}}{3}) é equivalente a x\leq 0.
Juntando os dois casos (união dos conjuntos) e lembrando que nos pontos onde um dos fatores é zero a desigualdade com “ \geq” é satisfeita, obtemos
x\in (-\infty,0]\\ \cup\\ \left[\frac{\sqrt{5}}{3},\infty\right).

Passo 5

(Pequena verificação e interpretação geométrica para fixar a ideia.)
A função f(x)=3x^{2}-\sqrt{5}\,x é um polinômio do segundo grau com coeficiente de x^{2} positivo ( 3>0), então é uma parábola voltada para cima. Logo f(x)\geq 0 fora das raízes e f(x)\leq 0 entre as raízes. Como as raízes são 0 e \tfrac{\sqrt{5}}{3}, isso confirma a solução que encontramos. Exemplos rápidos: x=1 f(1)=3-\sqrt{5}>0 (está na região válida) e x=\tfrac{1}{2} f(\tfrac{1}{2})<0 (está fora).

Passo 6

Conclusão: a solução da desigualdade é a união dos intervalos obtidos na análise de sinal.

Resposta

(-\infty,0]\cup\left[\dfrac{\sqrt{5}}{3},\infty\right)

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