Resolva as desigualdades.
x^{2}+2 x+1 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
x^{2}+2x+1 \leq 0.
Informações dadas:
  • A expressão que aparece na desigualdade é x^{2}+2x+1.
  • A incógnita é x real (assume-se domínio dos reais).
  • A desigualdade é do tipo “menor ou igual a zero” ( \leq 0), ou seja, queremos todos os x reais que tornam a expressão menor ou igual a zero.

Passo 2

Identificar uma forma mais simples da expressão. Observa-se que x^{2}+2x+1 pode ser reescrita como um quadrado perfeito. Vou mostrar passo a passo como verificar isso: calcule o quadrado de (x+1) e compare.
(x+1)^{2}=(x+1)(x+1)=x^{2}+x+x+1=x^{2}+2x+1.
Portanto temos a igualdade
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.

Passo 3

Explicar a propriedade das potências ao quadrado que vamos usar. Para qualquer número real y vale
y^{2}\geq 0,
isto é, o quadrado de um número real nunca é negativo. Além disso, y^{2}=0 se e somente se y=0. Uma explicação rápida: se y=0 então y^{2}=0; se y\neq0 então y é positivo ou negativo, e multiplicá-lo por si próprio dá um número positivo.

Passo 4

Aplicar essa propriedade à nossa desigualdade substituindo a expressão fatorada. A desigualdade fica
(x+1)^{2}\leq 0.
Pelo que dissemos no passo anterior, (x+1)^{2} é sempre maior ou igual a zero para todo x. A única maneira de uma quantidade não-negativa ser menor ou igual a zero é ela ser exatamente zero. Logo necessariamente
(x+1)^{2}=0.

Passo 5

Resolver a equação resultante. A partir de
(x+1)^{2}=0
temos que a raiz (única) é dada por
x+1=0.
Isolando x obtém-se
x=-1.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova: a expressão original é um quadrado perfeito que nunca é negativo, então a desigualdade \leq0 só é satisfeita no ponto em que o quadrado é zero. Outra maneira (equivalente) de ver rapidamente: o polinômio tem discriminante zero, logo tem raiz dupla em x=-1 e abre para cima, então não fica abaixo de zero em nenhum intervalo — só toca o zero naquele ponto. Relaxa: essa é uma daquelas questões curtas que parecem assustadoras, mas a ideia central é lembrar que quadrado é não-negativo.

Resposta

\{ -1 \}

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