Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações dadas:
- A expressão que aparece na desigualdade é
. - A incógnita é
real (assume-se domínio dos reais). - A desigualdade é do tipo “menor ou igual a zero” (
), ou seja, queremos todos os reais que tornam a expressão menor ou igual a zero.
Passo 2
Identificar uma forma mais simples da expressão. Observa-se que
pode ser reescrita como um quadrado perfeito. Vou mostrar passo a passo como verificar isso: calcule o quadrado de
e compare.
Portanto temos a igualdade
Passo 3
Explicar a propriedade das potências ao quadrado que vamos usar. Para qualquer número real
vale
isto é, o quadrado de um número real nunca é negativo. Além disso,
se e somente se
. Uma explicação rápida: se
então
; se
então
é positivo ou negativo, e multiplicá-lo por si próprio dá um número positivo.
Passo 4
Aplicar essa propriedade à nossa desigualdade substituindo a expressão fatorada. A desigualdade fica
Pelo que dissemos no passo anterior,
é sempre maior ou igual a zero para todo
. A única maneira de uma quantidade não-negativa ser menor ou igual a zero é ela ser exatamente zero. Logo necessariamente
Passo 5
Resolver a equação resultante. A partir de
temos que a raiz (única) é dada por
Isolando
obtém-se
Passo 6
Interpretação final e dica de prova: a expressão original é um quadrado perfeito que nunca é negativo, então a desigualdade
só é satisfeita no ponto em que o quadrado é zero. Outra maneira (equivalente) de ver rapidamente: o polinômio tem discriminante zero, logo tem raiz dupla em
e abre para cima, então não fica abaixo de zero em nenhum intervalo — só toca o zero naquele ponto. Relaxa: essa é uma daquelas questões curtas que parecem assustadoras, mas a ideia central é lembrar que quadrado é não-negativo.