Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações dadas:
- A expressão à esquerda é um polinômio quadrático em
. - Não há outras condições sobre
: procura-se a solução em .
Passo 2
Vamos chamar a função quadrática de
Aqui os coeficientes são
,
e
. É importante notar que
, o que significa que o gráfico de
é uma parábola voltada para cima. Em palavras simples: a parábola tem um mínimo (não um máximo).
Passo 3
Para saber se a parábola cruza o eixo
(isto é, se existem raízes reais), calculamos o discriminante. A definição do discriminante é
onde
,
,
são os coeficientes do polinômio quadrático
.
Passo 4
Substituindo os valores:
Como
, a equação
não tem raízes reais. Ou seja, a parábola não intercepta o eixo
.
Passo 5
Agora a regra prática: se
e
, a parábola está inteiramente acima do eixo
, portanto
para todo
. Para tornar isso ainda mais concreto, podemos calcular o valor mínimo de
no vértice da parábola.
O
do vértice é dado por
Avaliaremos
nesse ponto:
Portanto o mínimo de
é
, isto é,
para todo
.
Passo 6
Como
para todo
, não existe
tal que
. Logo a desigualdade dada não tem solução real.