Resolva as desigualdades.
x^{2}+4 x+7 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
x^{2}+4x+7 \leq 0.
Informações dadas:
  • A expressão à esquerda é um polinômio quadrático em x.
  • Não há outras condições sobre x: procura-se a solução em \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos chamar a função quadrática de
f(x)=x^{2}+4x+7.
Aqui os coeficientes são a=1, b=4 e c=7. É importante notar que a>0, o que significa que o gráfico de f é uma parábola voltada para cima. Em palavras simples: a parábola tem um mínimo (não um máximo).

Passo 3

Para saber se a parábola cruza o eixo x (isto é, se existem raízes reais), calculamos o discriminante. A definição do discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac,
onde a, b, c são os coeficientes do polinômio quadrático ax^{2}+bx+c.

Passo 4

Substituindo os valores:
\Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot7=16-28=-12.
Como \Delta=-12<0, a equação x^{2}+4x+7=0 não tem raízes reais. Ou seja, a parábola não intercepta o eixo x.

Passo 5

Agora a regra prática: se \Delta<0 e a>0, a parábola está inteiramente acima do eixo x, portanto f(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Para tornar isso ainda mais concreto, podemos calcular o valor mínimo de f no vértice da parábola.
O x do vértice é dado por
x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot1}=-2.
Avaliaremos f nesse ponto:
f(-2)=(-2)^{2}+4(-2)+7=4-8+7=3.
Portanto o mínimo de f é 3, isto é, f(x)\ge 3>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Como f(x)>0 para todo x, não existe x tal que f(x)\le 0. Logo a desigualdade dada não tem solução real.

Resposta

\varnothing

Exercícios relacionados