Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede encontrar todos os valores de
que satisfazem essa desigualdade. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
. - Trata-se de uma desigualdade envolvendo um polinômio quadrático.
- Objetivo: determinar o conjunto de
que torna a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Primeiro passo padrão: passar tudo para o mesmo membro (lado) de forma a ter zero no outro. Subtraindo
e adicionando
em ambos os lados obtemos
Passo 3
Podemos simplificar dividindo toda a desigualdade por
. Como
, a direção da desigualdade não se altera. Assim
Passo 4
Agora vamos achar as raízes (zeros) do polinômio quadrático
. Podemos resolver a equação associada
Usando a fórmula quadrática
com
,
,
, calculamos o discriminante:
Portanto
Isso dá as raízes
Passo 5
Como
tem raízes em
e
, ele pode ser fatorado (ou verificado) como
Logo a desigualdade fica
Passo 6
Explicação didática do passo seguinte (teste de sinais): um produto de dois fatores é não negativo quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) ou quando pelo menos um fator é zero. As raízes
e
dividem a reta real em três intervalos:
-
, -
, -
.
Devemos verificar o sinal de
em cada intervalo. Uma maneira rápida é usar um quadro de sinais ou testar um ponto de cada intervalo.
Passo 7
Testando pontos:
- Para
: (negativo), (negativo), produto positivo. Logo nesse intervalo. - Para
: (positivo), (negativo), produto negativo. Logo nesse intervalo. - Para
: (positivo), (positivo), produto positivo. Logo nesse intervalo.
Também lembrando que nos pontos
e
o produto é zero, e a desigualdade permite zero (
).
Passo 8
Interpretação final a partir dos sinais: a expressão é
para
em