Resolva as desigualdades.
2 x^{2} \geq 20-6 x

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
2x^{2}\geq 20-6x
e pede encontrar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é x.
  • Trata-se de uma desigualdade envolvendo um polinômio quadrático.
  • Objetivo: determinar o conjunto de x que torna a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro passo padrão: passar tudo para o mesmo membro (lado) de forma a ter zero no outro. Subtraindo 20 e adicionando 6x em ambos os lados obtemos
2x^{2}+6x-20\geq 0.

Passo 3

Podemos simplificar dividindo toda a desigualdade por 2. Como 2>0, a direção da desigualdade não se altera. Assim
x^{2}+3x-10\geq 0.

Passo 4

Agora vamos achar as raízes (zeros) do polinômio quadrático x^{2}+3x-10. Podemos resolver a equação associada
x^{2}+3x-10=0.
Usando a fórmula quadrática x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} com a=1, b=3, c=-10, calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49.
Portanto
x=\dfrac{-3\pm\sqrt{49}}{2}=\dfrac{-3\pm7}{2}.
Isso dá as raízes
x=\dfrac{-3+7}{2}=2\quad\text{e}\quad x=\dfrac{-3-7}{2}=-5.

Passo 5

Como x^{2}+3x-10 tem raízes em -5 e 2, ele pode ser fatorado (ou verificado) como
x^{2}+3x-10=(x+5)(x-2).
Logo a desigualdade fica
(x+5)(x-2)\geq 0.

Passo 6

Explicação didática do passo seguinte (teste de sinais): um produto de dois fatores é não negativo quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) ou quando pelo menos um fator é zero. As raízes -5 e 2 dividem a reta real em três intervalos:
  • (-\infty,-5),
  • (-5,2),
  • (2,\infty).
Devemos verificar o sinal de (x+5)(x-2) em cada intervalo. Uma maneira rápida é usar um quadro de sinais ou testar um ponto de cada intervalo.

Passo 7

Testando pontos:
  • Para x=-6\in(-\infty,-5): (x+5)= -1 (negativo), (x-2)= -8 (negativo), produto positivo. Logo (x+5)(x-2)>0 nesse intervalo.
  • Para x=0\in(-5,2): (x+5)=5 (positivo), (x-2)=-2 (negativo), produto negativo. Logo (x+5)(x-2)<0 nesse intervalo.
  • Para x=3\in(2,\infty): (x+5)=8 (positivo), (x-2)=1 (positivo), produto positivo. Logo (x+5)(x-2)>0 nesse intervalo.
Também lembrando que nos pontos x=-5 e x=2 o produto é zero, e a desigualdade permite zero ( \geq 0).

Passo 8

Interpretação final a partir dos sinais: a expressão é \geq 0 para x em
(-\infty,-5]\quad\text{ou}\quad[2,\infty).

Resposta

\;(-\infty,-5]\cup[2,\infty)

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