Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações dadas que vamos usar:
- É uma desigualdade envolvendo um polinômio quadrático em
. - Os coeficientes do polinômio são
, , .
A tarefa é encontrar todos os valores deque satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro passo típico: fatorar o polinômio, se possível, porque fica muito mais fácil analisar o sinal. Procuro dois números
e
tais que
Listei pares que multiplicam
:
,
,
. O par cuja soma é
é
e
. Portanto o polinômio fatora como
Posso checar rápido expandindo:
. Está correto.
Passo 3
Reescrevo a desigualdade usando a fatoração:
As raízes (zeros) da expressão são os pontos que anulam cada fator:
Esses dois valores dividem a reta real em três intervalos onde o sinal do produto é constante.
Passo 4
Agora é a parte conceitual: quando temos um produto de dois fatores
, isso significa que o produto é negativo ou zero. Ou seja:
- é zero exatamente quando
é uma das raízes ( ou ); - é negativo quando os fatores têm sinais opostos.
Uma maneira prática de ver isso é fazer um quadro de sinais ou testar um ponto em cada intervalo formado pelas raízes.
Passo 5
Faço o teste de sinal em cada intervalo:
- Para
, por exemplo : e . Produto . Então na região a expressão é positiva. - Para
, por exemplo : e . Produto . Então na região a expressão é negativa. - Para
, por exemplo : e . Produto . Então na região é positiva.
Além disso, nos pontos
e
o produto vale
.
Passo 6
A desigualdade pede
, isto é, queremos onde a expressão é negativa ou zero. Pelos testes:
- é negativa em
; - é zero em
e .
Logo a solução é o intervalo fechado entre as raízes:
Passo 7
Verificação alternativa (opcional): pelo discriminante da quadrática
,
que dão
e
, confirmando a fatoração e a solução obtida.
Passo 8
Pronto — a ideia chave para esse tipo de exercício é: fatorar (ou achar as raízes), dividir a reta em intervalos pelos zeros e testar o sinal em cada intervalo. Dá para fazer bem rápido na prova com um pouco de prática. Força aí — você consegue!