Resolva as desigualdades.
-2 x^{2}+x \geq-6

Passo 1

O enunciado pede: resolver a desigualdade -2x^{2}+x \geq -6.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • Temos uma desigualdade envolvendo um polinômio quadrático em x.
    O objetivo é encontrar todos os valores de x que tornam verdadeira essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar tudo num só lado para comparar com zero. Subtraio -6 dos dois lados:
-2x^{2}+x+6 \geq 0.
Para trabalhar com coeficiente líder positivo (mais confortável), multiplico a desigualdade por -1. Lembre-se: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte. Assim:
2x^{2}-x-6 \leq 0.

Passo 3

Agora encontro as raízes do polinômio 2x^{2}-x-6 resolvendo a equação 2x^{2}-x-6=0. Uso a fórmula quadrática ou calculo o discriminante:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-6)=1+48=49.
Como \sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7, as raízes são
x=\frac{1\pm 7}{4}.
Calculando:
x=\frac{1+7}{4}=\frac{8}{4}=2,\qquad x=\frac{1-7}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}.

Passo 4

Com as raízes encontradas, fatoro o polinômio:
2x^{2}-x-6=(x-2)(2x+3).
(Verificação rápida: (x-2)(2x+3)=2x^{2}-4x+3x-6=2x^{2}-x-6.)

Passo 5

Temos a desigualdade fatorada:
(x-2)(2x+3)\leq 0.
Uma desigualdade produto \leq 0 é satisfeita quando os fatores têm sinais opostos ou quando um dos fatores é zero; isto acontece entre as raízes (incluindo-as, porque é \leq). As raízes são x=-\tfrac{3}{2} e x=2, portanto a solução é o intervalo entre elas:
-\tfrac{3}{2}\leq x \leq 2,
ou seja \left[-\tfrac{3}{2},\,2\right].

Passo 6

Checagem rápida nos extremos para confirmar inclusão:
  • Para x=2: -2\cdot 2^{2}+2=-8+2=-6, logo a desigualdade original fica -6\geq -6 (verdadeiro).
  • Para x=-\tfrac{3}{2}: -2\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}+(-\tfrac{3}{2})=-2\cdot\tfrac{9}{4}-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{9}{2}-\tfrac{3}{2}=-6, novamente igualdade, então os extremos estão incluídos.

Resposta

\left[-\dfrac{3}{2},\,2\right]

Exercícios relacionados