Resolva as desigualdades.
1 \leq x^{2}+2 x-2 \leq 6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade composta
1 \leq x^{2}+2x-2 \leq 6.
Informações dadas:
  • A expressão central é o polinômio quadrático x^{2}+2x-2.
  • Precisa-se determinar o conjunto de x que torna essa expressão simultaneamente maior ou igual a 1 e menor ou igual a 6.
    A resolução segue dividindo a desigualdade composta em duas desigualdades simples e resolvendo cada uma.

Passo 2

Separamos a desigualdade composta em duas:
x^{2}+2x-2 \geq 1
e
x^{2}+2x-2 \leq 6.
Vamos resolver cada uma separadamente; depois faremos a interseção (valores que satisfazem as duas ao mesmo tempo).

Passo 3

Resolver a primeira desigualdade. Primeiro reorganizar:
x^{2}+2x-2 \geq 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+2x-3 \geq 0.
Fatorando o polinômio:
x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).
As raízes da equação associada são x=-3 e x=1. Como a parábola x^{2}+2x-3 tem coeficiente líder positivo ( 1>0), ela abre para cima. Logo o sinal da expressão é:
  • negativo entre as raízes (-3,1),
  • positivo ou zero fora delas.
    Portanto a solução da desigualdade \,x^{2}+2x-3\geq0 é o conjunto
(-\infty,-3]\\ \cup\\ [1,\infty).

Passo 4

Resolver a segunda desigualdade. Reorganizando:
x^{2}+2x-2 \leq 6 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+2x-8 \leq 0.
Fatorando:
x^{2}+2x-8=(x+4)(x-2).
As raízes são x=-4 e x=2. A parábola x^{2}+2x-8 também abre para cima, então a expressão é negativa ou zero entre as raízes. Portanto a solução da desigualdade \,x^{2}+2x-8\leq0 é o intervalo
[-4,2].

Passo 5

Agora fazemos a interseção dos conjuntos obtidos nas Passo 3 e Passo 4, porque queremos os x que satisfazem as duas desigualdades simultaneamente.
Conjunto da Passo 3: (-\infty,-3]\\ \cup\\ [1,\infty).
Conjunto da Passo 4: [-4,2].
Interseção:
  • (-\infty,-3]\cap[-4,2]=[-4,-3].
  • [1,\infty)\cap[-4,2]=[1,2].

Resposta

[-4,-3]\cup[1,2]

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