Resolva as desigualdades.
Passo 1
O problema pede para resolver a desigualdade
Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:
- A expressão é um produto de fatores multiplicado por
. - A desigualdade é estrita (
), ou seja, valores que tornam a expressão igual a zero não pertencem à solução. - Os fatores que podem anular o produto são
e ; portanto os pontos críticos são e . - A variável
varia sobre todos os números reais.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: dividir ambos os lados da desigualdade por
. Lembre-se da regra importante: ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Aplicando isso:
Aqui trocamos
por
porque dividimos por
.
Passo 3
Entender a condição
: um produto de dois fatores é positivo quando os dois fatores têm o mesmo sinal — isto é, ambos positivos ou ambos negativos. Como a desigualdade é estrita, excluímos os pontos onde qualquer fator é zero (
e
).
Passo 4
Dividimos a reta real em três intervalos usando os pontos críticos
e
:
Em cada intervalo verificamos o sinal de cada fator. Podemos usar um ponto de teste em cada intervalo.
-
Intervalo
. Escolha . Ambos fatores são negativos, então o produto é positivo. Logovale para . -
Intervalo
. Escolha . Os fatores têm sinais opostos, então o produto é negativo. Portantonão vale para . -
Intervalo
. Escolha . Ambos positivos, então o produto é positivo. Logovale para .
Passo 5
Juntando os intervalos onde o produto é positivo e lembrando que os pontos onde o produto é zero não são incluídos (desigualdade estrita), obtemos a solução: