Resolva as desigualdades.
(3-5 x)(x+3) \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade (3-5x)(x+3)\geq 0.
Informações dadas:
  • A expressão é o produto de dois fatores lineares: 3-5x e x+3.
  • Queremos todos os valores de x que tornam esse produto maior ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro localizamos os zeros (raízes) de cada fator — são pontos críticos que dividem a reta real em intervalos onde o sinal do produto pode mudar.
Resolver 3-5x=0 dá:
3-5x=0 \quad\Rightarrow\quad 5x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{3}{5}.
Resolver x+3=0 dá:
x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3.

Passo 3

Explicação do método (bem didática): para desigualdades com produto de fatores, o produto é não negativo ( \geq 0) quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) ou quando algum fator é zero. Então:
  • Identificamos os pontos críticos x=-3 e x=\tfrac{3}{5}.
  • Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-3), (-3,\tfrac{3}{5}) e (\tfrac{3}{5},\infty).
  • Em cada intervalo verificamos o sinal de cada fator (usando um valor-teste) e, com isso, o sinal do produto.

Passo 4

Escolhemos valores-teste em cada intervalo:
  • Para (-\infty,-3) escolhemos x=-4.
  • Para (-3,\tfrac{3}{5}) escolhemos x=0.
  • Para (\tfrac{3}{5},\infty) escolhemos x=1.

Passo 5

Avaliaremos os sinais dos fatores nos pontos-teste.
Para x=-4:
3-5(-4)=3+20=23>0, \qquad -4+3=-1<0.
Logo, em (-\infty,-3) temos 3-5x>0 e x+3<0, portanto o produto é negativo.
Para x=0:
3-5\cdot 0=3>0, \qquad 0+3=3>0.
Logo, em (-3,\tfrac{3}{5}) ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
Para x=1:
3-5\cdot 1=3-5=-2<0, \qquad 1+3=4>0.
Logo, em (\tfrac{3}{5},\infty) o produto é negativo.

Passo 6

Interpretando os resultados:
  • Em (-\infty,-3) o produto é negativo \Rightarrow não satisfaz a desigualdade \geq 0.
  • Em (-3,\tfrac{3}{5}) o produto é positivo \Rightarrow satisfaz a desigualdade.
  • Em (\tfrac{3}{5},\infty) o produto é negativo \Rightarrow não satisfaz.
    Além disso, como a desigualdade é \geq 0, devemos incluir os pontos onde o produto é zero, isto é, x=-3 e x=\tfrac{3}{5}.

Passo 7

Conclusão (em palavras): a desigualdade é satisfeita para os x que pertencem ao intervalo entre -3 e \tfrac{3}{5}, incluindo as extremidades.

Resposta

x\in[-3,\tfrac{3}{5}]

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