Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão é o produto de dois fatores lineares:
e . - Queremos todos os valores de
que tornam esse produto maior ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro localizamos os zeros (raízes) de cada fator — são pontos críticos que dividem a reta real em intervalos onde o sinal do produto pode mudar.
Resolver
dá:
Resolver
dá:
Passo 3
Explicação do método (bem didática): para desigualdades com produto de fatores, o produto é não negativo (
) quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) ou quando algum fator é zero. Então:
- Identificamos os pontos críticos
e . - Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
, e . - Em cada intervalo verificamos o sinal de cada fator (usando um valor-teste) e, com isso, o sinal do produto.
Passo 4
Escolhemos valores-teste em cada intervalo:
- Para
escolhemos . - Para
escolhemos . - Para
escolhemos .
Passo 5
Avaliaremos os sinais dos fatores nos pontos-teste.
Para
:
Logo, em
temos
e
, portanto o produto é negativo.
Para
:
Logo, em
ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
Para
:
Logo, em
o produto é negativo.
Passo 6
Interpretando os resultados:
- Em
o produto é negativo não satisfaz a desigualdade . - Em
o produto é positivo satisfaz a desigualdade. - Em
o produto é negativo não satisfaz.
Além disso, como a desigualdade é, devemos incluir os pontos onde o produto é zero, isto é, e .
Passo 7
Conclusão (em palavras): a desigualdade é satisfeita para os
que pertencem ao intervalo entre
e
, incluindo as extremidades.