(a) A bead is free to slide along a smooth straight horizontal wire. One end of the wire is kept at a fixed point which one can take as the pole or origin and the wire is rotated around the origin in a horizontal plane at a constant angular velocity \omega. Find the equation of the path of the bead.
Suggestion: Ignore gravity and use the fact that no radial force acts to keep the bead in one position on the wire.
(b) Suppose the bead is at the origin when t=0 and the wire starts rotating at \theta=0. Describe the motion of the bead.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações que ele dá.
  • O enunciado pede:
    (a) Encontrar a equação do caminho (trajetória) do miolo (bead) no plano quando o fio rígido e retilíneo (com uma extremidade fixa na origem) gira com velocidade angular constante \omega.
    (b) Supondo que o miolo está na origem em t=0 e que o fio começa a girar com \theta=0 nessa hora, descrever o movimento do miolo.
  • Informações dadas:
    • O miolo desliza livremente sem atrito ao longo de um fio retilíneo horizontal.
    • Uma extremidade do fio está presa na origem (pólo).
    • O fio gira em plano horizontal com velocidade angular constante \omega.
    • Devemos desprezar a gravidade (não interessa aqui) e usar que não há força radial ao longo do fio (ou seja, ao longo da direção do fio não existe força tangencial, já que o contato é sem atrito).

Passo 2

Escolher coordenadas e definir variáveis (para poder escrever as equações de movimento).
  • Use coordenadas polares centradas na origem. Em cada instante o fio é a reta que passa pela origem com ângulo \theta(t).
  • Definir:
    • r(t): distância do miolo à origem (medida ao longo do fio).
    • \theta(t): ângulo que o fio faz com um eixo fixo do laboratório.
  • Pelo enunciado a reta gira com velocidade angular constante, portanto
\theta(t)=\omega t+\theta_0,
onde \theta_0 é o ângulo inicial (podemos escolher \theta_0=0 se quisermos, mas mantenho geral por enquanto).
  • A posição do miolo no plano, em coordenadas polares, é (r(t),\theta(t)).

Passo 3

Apresentar a fórmula da aceleração em coordenadas polares e explicar o que cada termo significa.
  • A velocidade em coordenadas polares é a soma da variação radial e da variação angular:
\vec v=\dot r\,\hat r + r\dot\theta\,\hat\theta.
Aqui \hat r é o versor radial (ao longo do fio) e \hat\theta é o versor transversal (perpendicular ao fio, no sentido de aumento de \theta). O ponto significa derivada temporal: \dot r=\dfrac{dr}{dt}, \dot\theta=\dfrac{d\theta}{dt}.
  • A aceleração tem duas componentes bem conhecidas:
\vec a=(\ddot r - r\dot\theta^2)\,\hat r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\hat\theta.
Expliquei cada termo:
  • \ddot r é a aceleração radial pura (variação da velocidade ao longo do fio).
  • -r\dot\theta^2 é a contribuição centrípeta (quando o corpo descreve curva; apareceria mesmo se r fosse constante).
  • r\ddot\theta é termo devido à variação da velocidade angular (aqui \ddot\theta é zero porque \omega é constante).
  • 2\dot r\dot\theta é a aceleração de Coriolis (aparece quando há mudança de r e rotação simultânea).

Passo 4

Usar a condição física “não há força radial ao longo do fio” para escrever a equação diferencial que governa r(t).
  • Como o contato é sem atrito, o fio só exerce força perpendicular ao fio (força normal), ou seja, não há força ao longo da direção radial (ao longo do fio). Portanto a componente da resultante de forças ao longo de \hat r é zero:
m(\ddot r - r\dot\theta^2)=0.
Dividindo por m e usando \dot\theta=\omega constante, obtemos a equação diferencial ordinária
\ddot r - r\omega^2 = 0.
  • Observação física: o termo -r\omega^2 corresponde à necessidade de força centrípeta para manter uma partícula descrevendo ângulo variável; como não existe força ao longo do fio, a única forma de satisfazer a equação é que a própria aceleração radial \ddot r compense esse termo — isso produz a dinâmica que veremos (crescimento exponencial).

Passo 5

Resolver a equação diferencial \ddot r - \omega^2 r = 0 de forma completa e explicar como obter as constantes a partir de condições iniciais.
  • Essa é uma ODE linear homogênea com coeficientes constantes. A equação característica é \lambda^2-\omega^2=0, com raízes \lambda=\pm\omega. Assim a solução geral é
r(t)=A e^{\omega t}+B e^{-\omega t},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.
  • É habitual reescrever usando cosseno hiperbólico e seno hiperbólico para conjuntos de condições iniciais r(0)=r_0 e \dot r(0)=v_0. Calculando, obtém-se
r(t)=r_0\operatorname{cosh}(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\operatorname{sinh}(\omega t).
Aqui r_0=r(0) e v_0=\dot r(0). Isso é equivalente à forma com A,B (só uma reparametrização).

Passo 6

Expressar a trajetória no plano (equação do caminho) de forma paramétrica e também eliminar o tempo para obter [r) em função de \theta.
  • Parâmetros no tempo:
\begin{cases} r(t)=r_0\operatorname{cosh}(\omega t)+\dfrac{v_0}{\omega}\operatorname{sinh}(\omega t),\\[6pt] \theta(t)=\omega t+\theta_0. \end{cases}
  • Em coordenadas cartesianas (paramétricas):
\begin{cases} x(t)=r(t)\cos(\omega t+\theta_0),\\[4pt] y(t)=r(t)\sin(\omega t+\theta_0). \end{cases}
  • Eliminando o tempo: como \omega t=\theta-\theta_0\], podemos escrever a forma da curva como \[r(\theta)=r_0\operatorname{cosh}(\theta-\theta_0)+\frac{v_0}{\omega}\operatorname{sinh}(\theta-\theta_0).\] Alternativamente, essa expressão é também da forma \[r(\theta)=C e^{\theta}+D e^{-\theta},\] com constantes \(C,D apropriadas (relacionadas a r_0,v_0,\theta_0). Essa é a equação do caminho no plano em coordenadas polares: r depende exponencialmente de \theta (combinação de exponenciais), logo a trajetória não é uma espiral logarítmica simples (r\propto e^{k\theta}) mas sim um caso hiperbólico/exponencial da forma dada.]

Passo 7

Aplicar ao item (b): caso específico em que o miolo está na origem em t=0 e a haste começa a girar com \theta=0 nessa hora — analisar possibilidades e descrever o movimento.
  • Condições dadas em (b): em t=0 tem-se r_0=0 e \theta_0=0. Precisa-se também saber \dot r(0)=v_0. Se o miolo estiver exatamente na origem e não receber qualquer impulso radial, então v_0=0.
  • Substituindo r_0=0 e v_0=0 na solução:
r(t)=0\quad\text{para todo }t.
Isto significa que, se o miolo estiver exatamente no ponto fixo (origem) e não tiver velocidade radial inicial, ele permanecerá na origem enquanto o fio gira. Fisicamente: a origem é um ponto de equilíbrio para essa equação.
  • Estabilidade: esse equilíbrio é instável. Se houver uma pequena perturbação inicial ( r_0 pequeno ou v_0\neq0 pequeno), a solução contém o termo e^{\omega t} dominante, então, para tempos grandes,
r(t)\sim A e^{\omega t}\quad\text{(crescimento exponencial)}.
Isso significa que uma pequena falha (por exemplo o miolo não exatamente na origem) faz com que ele seja lançado para fora ao longo do fio, com crescimento exponencial da distância até a origem — ele “escapa” rapidamente para fora, acompanhando a rotação do fio (ângulo \theta=\omega t).
  • Resumo prático para (b):
    • Se realmente r_0=0 e v_0=0: o miolo fica preso na origem.
    • Se houver qualquer pequena perturbação: o miolo se afasta do centro com comportamento exponencial \propto e^{\omega t}, movendo-se ao longo do fio para fora enquanto o fio gira.

Resposta

(a) Em coordenadas polares, com condições iniciais r(0)=r_0 e \dot r(0)=v_0,
r(t)=r_0\operatorname{cosh}(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\operatorname{sinh}(\omega t), \qquad \theta(t)=\omega t+\theta_0.
Eliminando t obtém-se a curva
r(\theta)=r_0\operatorname{cosh}(\theta-\theta_0)+\frac{v_0}{\omega}\operatorname{sinh}(\theta-\theta_0),
ou equivalentemente da forma r(\theta)=C e^{\theta}+D e^{-\theta} (constantes C,D determinadas por r_0,v_0,\theta_0). Em coordenadas paramétricas cartesianas:
x(t)=r(t)\cos(\omega t+\theta_0),\qquad y(t)=r(t)\sin(\omega t+\theta_0).
(b) Se em t=0 o miolo está exatamente na origem ( r_0=0) e não tem velocidade radial inicial ( v_0=0), então r(t)=0 para todo t e o miolo permanece na origem. Se houver qualquer pequena perturbação ( r_0\neq0 ou v_0\neq0), então r(t) cresce aproximadamente como e^{\omega t} (crescimento exponencial) e o miolo é rapidamente lançado para fora ao longo do fio enquanto \theta=\omega t.

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