Show that, when the roots of the characteristic equation of. y^{\prime \prime}+2 \alpha y^{\prime} \beta y=0 are equal, and if m is the double root, then (A+B x) e^{m x} is the general solution.
Suggestion: Assume that the general solution is of the form y=u(x) e^{m x} and determine u(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'' + 2\alpha y' + \beta y = 0,
e afirma que as raízes da equação característica são iguais (há uma raiz dupla). Se m é essa raiz dupla, é preciso mostrar que a solução geral é
(A + B x)e^{m x},
onde A e B são constantes arbitrárias.
O enunciado sugere assumir a forma
y=u(x)e^{m x}
e determinar u(x). Vou seguir essa sugestão.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y=u(x)e^{m x}. Primeiro a derivada primeira:
y' = u' e^{m x} + m u e^{m x}.
Agora a derivada segunda:
y'' = u'' e^{m x} + 2m u' e^{m x} + m^2 u e^{m x}.
Estas fórmulas vêm da regra do produto: (uv)'=u'v+uv' aplicada duas vezes; aqui v=e^{m x} tem v'=m e^{m x} e v''=m^2 e^{m x}.

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na equação diferencial. Como todos os termos têm fator comum e^{m x}, podemos dividi-lo (não é zero). Assim obtemos:
u'' + 2m u' + m^2 u + 2\alpha\bigl(u' + m u\bigr) + \beta u = 0.
Agrupando termos em u e u':
u'' + \bigl(2m + 2\alpha\bigr)u' + \bigl(m^2 + 2\alpha m + \beta\bigr)u = 0.

Passo 4

Introduce-se aqui a informação sobre m ser raiz da equação característica. A equação característica associada é
r^2 + 2\alpha r + \beta = 0,
e, por hipótese, m é uma raiz; portanto
m^2 + 2\alpha m + \beta = 0.
Usando isso na equação obtida para u, o termo multiplicando u desaparece e resta:
u'' + 2\bigl(m + \alpha\bigr)u' = 0.

Passo 5

Agora use a condição de raiz dupla. Se m é uma raiz de multiplicidade 2 da equação característica, então além de p(m)=0 (com p(r)=r^2+2\alpha r+\beta) também vale p'(m)=0. Calculando p'(r)=2r+2\alpha e avaliando em r=m obtemos
2m + 2\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad m + \alpha = 0.
Substituindo isso em
u'' + 2\bigl(m + \alpha\bigr)u' = 0
vemos que o coeficiente de u' é zero, logo
u'' = 0.

Passo 6

Integramos u''=0 duas vezes. Da primeira integração vem
u' = C_1,
onde C_1 é constante. Da segunda integração obtemos
u(x) = C_1 x + C_2,
com C_2 constante. Portanto
y = u(x)e^{m x} = (C_1 x + C_2)e^{m x}.
Renomeando as constantes C_2=A e C_1=B, obtemos a forma pedida:
y=(A+Bx)e^{m x}.

Passo 7

Para garantir que (A+Bx)e^{m x} realmente representa a solução geral, note que as duas funções independentes
y_1=e^{m x},\qquad y_2 = x e^{m x}
são soluções e são linearmente independentes (por exemplo o wronskiano é
W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix} e^{m x} & x e^{m x} \\\ m e^{m x} & e^{m x}+m x e^{m x}\end{vmatrix}=e^{2m x}\neq 0),
logo sua combinação linear com constantes arbitrárias fornece a solução geral.

Resposta

(A+Bx)e^{m x}

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