Show that, when the roots of the characteristic equation of.
are equal, and if
is the double root, then
is the general solution.
Suggestion: Assume that the general solution is of the form
and determine
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e afirma que as raízes da equação característica são iguais (há uma raiz dupla). Se
é essa raiz dupla, é preciso mostrar que a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.
O enunciado sugere assumir a forma
e determinar
. Vou seguir essa sugestão.
Passo 2
Calculemos as derivadas de
. Primeiro a derivada primeira:
Agora a derivada segunda:
Estas fórmulas vêm da regra do produto:
aplicada duas vezes; aqui
tem
e
.
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação diferencial. Como todos os termos têm fator comum
, podemos dividi-lo (não é zero). Assim obtemos:
Agrupando termos em
e
:
Passo 4
Introduce-se aqui a informação sobre
ser raiz da equação característica. A equação característica associada é
e, por hipótese,
é uma raiz; portanto
Usando isso na equação obtida para
, o termo multiplicando
desaparece e resta:
Passo 5
Agora use a condição de raiz dupla. Se
é uma raiz de multiplicidade 2 da equação característica, então além de
(com
) também vale
. Calculando
e avaliando em
obtemos
Substituindo isso em
vemos que o coeficiente de
é zero, logo
Passo 6
Integramos
duas vezes. Da primeira integração vem
onde
é constante. Da segunda integração obtemos
com
constante. Portanto
Renomeando as constantes
e
, obtemos a forma pedida:
Passo 7
Para garantir que
realmente representa a solução geral, note que as duas funções independentes
são soluções e são linearmente independentes (por exemplo o wronskiano é
logo sua combinação linear com constantes arbitrárias fornece a solução geral.