Resolva os dois itens a seguir:
(a) Determine
(a) Determine
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Não há outras informações explícitas além dessa expressão.
Passo 2
Lembra de um limite fundamental que usamos sempre com funções trigonométricas pequenas:
O que isso diz, em palavras, é que quando o argumento da função seno é muito pequeno, a função seno se comporta praticamente como a própria variável — a razão entre eles tende a
.
Vou justificar rapidamente por que esse limite vale (resumido e intuitivo, sem pular etapas importantes). Para
pequeno e positivo (ou seja,
) vale a desigualdade geométrica clássica
Explicando a desigualdade: a partir de
obtém-se
, isto é
; e de
vem
. Como
quando
, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que
. Para
negativo usa-se a paridade da função seno e o mesmo argumento, então o limite bilateral vale.
Passo 3
Agora usamos essa informação com uma mudança de variável adequada. Seja
Quando
temos
. Reescrevendo a expressão do limite em função de
:
Como
, obtemos
Passo 4
Tomando limite quando
(equivalente a
) e usando o limite fundamental do Passo 2: