Resolva os dois itens a seguir:
(a) Determine \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(8 t)}{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando t tende a zero:
\lim_{t\to 0} \frac{\operatorname{sen}(8t)}{t}.
Não há outras informações explícitas além dessa expressão.

Passo 2

Lembra de um limite fundamental que usamos sempre com funções trigonométricas pequenas:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
O que isso diz, em palavras, é que quando o argumento da função seno é muito pequeno, a função seno se comporta praticamente como a própria variável — a razão entre eles tende a 1.
Vou justificar rapidamente por que esse limite vale (resumido e intuitivo, sem pular etapas importantes). Para x pequeno e positivo (ou seja, 0<x<\tfrac{\pi}{2}) vale a desigualdade geométrica clássica
\cos x < \frac{\operatorname{sen}x}{x} < 1.
Explicando a desigualdade: a partir de x<\tan x obtém-se x\cos x<\operatorname{sen}x, isto é \cos x<\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}; e de \operatorname{sen}x<x vem \dfrac{\operatorname{sen}x}{x}<1. Como \cos x\to 1 quando x\to 0, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que \dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\to 1. Para x negativo usa-se a paridade da função seno e o mesmo argumento, então o limite bilateral vale.

Passo 3

Agora usamos essa informação com uma mudança de variável adequada. Seja
u=8t.
Quando t\to 0 temos u\to 0. Reescrevendo a expressão do limite em função de u:
\frac{\operatorname{sen}(8t)}{t}=\frac{\operatorname{sen}(u)}{t}.
Como t=\dfrac{u}{8}, obtemos
\frac{\operatorname{sen}(8t)}{t}=\frac{\operatorname{sen}(u)}{u/8}=8\cdot\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}.

Passo 4

Tomando limite quando t\to 0 (equivalente a u\to 0) e usando o limite fundamental do Passo 2:
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(8t)}{t}=8\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=8\cdot 1=8.

Resposta

8

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