Resolva os dois itens a seguir:
(b) Determine
(b) Determine
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar
.
Informações dadas:
- A função cuja cota queremos é
. - O limite é quando
tende para . - Observação direta sobre os polinômios: o numerador tem grau
(termo dominante ) e o denominador tem grau (termo dominante ). (Isso é informação do enunciado.)
Passo 2
Ideia/estratégia (explicada de forma didática): quando se calcula limites de frações de polinômios para
, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador (aqui
). Isso transforma a expressão em termos de
e
, cujos limites são fáceis de avaliar.
Passo 3
Aplicando a divisão por
. Escreve-se a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 4
Analisar os limites das partes mais simples que apareceram. É um fato básico e importantíssimo que
Rápida justificativa intuitiva: à medida que
cresce muito,
e
ficam cada vez menores; formalmente, dado
pode-se escolher
grande para garantir
para todo
.
Passo 5
Usando as regras de limites (soma, produto e razão quando o limite do denominador é diferente de zero), aplicamos o limite na expressão obtida:
Agora calcule as duas partes:
Portanto o quociente de limites é
.
Passo 6
Interpretação final curta e motivadora: como o denominador cresce como
enquanto o numerador cresce apenas como
, a fração vai a zero — o denominador cresce muito mais rápido e “vence” o numerador.