Resolva os dois itens a seguir:
(b) Determine \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+3}{x^{2}+5 x+6}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x+3}{x^{2}+5x+6}.
Informações dadas:
  • A função cuja cota queremos é \displaystyle \frac{x+3}{x^{2}+5x+6}.
  • O limite é quando x tende para +\infty.
  • Observação direta sobre os polinômios: o numerador tem grau 1 (termo dominante x) e o denominador tem grau 2 (termo dominante x^{2}). (Isso é informação do enunciado.)

Passo 2

Ideia/estratégia (explicada de forma didática): quando se calcula limites de frações de polinômios para x\to\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (aqui x^{2}). Isso transforma a expressão em termos de \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{x^{2}}, cujos limites são fáceis de avaliar.

Passo 3

Aplicando a divisão por x^{2}. Escreve-se a fração dividindo numerador e denominador por x^{2}:
\frac{x+3}{x^{2}+5x+6} = \frac{\dfrac{x}{x^{2}}+\dfrac{3}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{5x}{x^{2}}+\dfrac{6}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}}{1+\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}}.

Passo 4

Analisar os limites das partes mais simples que apareceram. É um fato básico e importantíssimo que
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.
Rápida justificativa intuitiva: à medida que x cresce muito, 1/x e 1/x^{2} ficam cada vez menores; formalmente, dado \varepsilon>0 pode-se escolher M grande para garantir 1/x<\varepsilon para todo x>M.

Passo 5

Usando as regras de limites (soma, produto e razão quando o limite do denominador é diferente de zero), aplicamos o limite na expressão obtida:
\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}}{1+\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)}{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}\right)}.
Agora calcule as duas partes:
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)=0+0=0, \qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}\right)=1+0+0=1.
Portanto o quociente de limites é \dfrac{0}{1}=0.

Passo 6

Interpretação final curta e motivadora: como o denominador cresce como x^{2} enquanto o numerador cresce apenas como x, a fração vai a zero — o denominador cresce muito mais rápido e “vence” o numerador.

Resposta

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