Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar (ou seja, dar um exemplo de) uma função
que satisfaça as seguintes condições de limite:
-
. -
. -
e . -
e .
Informações relevantes (tiradas diretamente do enunciado):
- Há duas assíntotas verticais obrigatórias em
e . - Os comportamentos laterais nas duas assíntotas são os mesmos: à esquerda de cada assíntota o valor explode para
e à direita explode para . - As assíntotas horizontais são diferentes nos dois extremos:
como e como .
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): construir uma função que combine duas partes:
- Uma parte que garante os limites horizontais diferentes em
e . - Uma parte que introduz pólos (assíntotas verticais) em
e com os sinais laterais pedidas.
Primeiro ensinamento rápido — escolha da parte com limites horizontais diferentes:
Uma função simples que tende a quando
e a
quando
é a função logística
Uma função simples que tende a
Por que isso vale? Quando
temos
e então
. Quando
temos
e
. Essa parte resolve os limites horizontais.
Passo 3
Criando as assíntotas verticais com o sinal correto:
Para produzir um pólo em com comportamento
e
podemos usar o termo
Para produzir um pólo em
Verificação de sinais: quando
o denominador
é positivo e pequeno
; quando
o denominador é negativo e pequeno
. Perfeito.
Para
queremos
e
. O termo
faz exatamente isso. Verificação de sinais: se
então
é negativo e pequeno, logo
; se
então
é positivo e pequeno, logo
.
Explicação didática curta sobre pólos: termos do tipo
criam assíntotas verticais em
. O sinal à esquerda e à direita depende do sinal do denominador quando
se aproxima de
por cada lado.
Passo 4
Combinação das partes:
Para não atrapalhar os limites horizontais já garantidos por , adicionamos os termos de pólo de forma que eles tenderão a
quando
. Termos racionais do tipo
e
decaem como
quando
é grande, portanto não mudam os limites horizontais de
.
Para não atrapalhar os limites horizontais já garantidos por
Então uma função candidata simples é
Aqui a primeira parcela dá os limites horizontais desejados e as duas últimas parcelas criam as assíntotas verticais com os sinais certos.
Passo 5
Verificação detalhada dos limites pedidos:
- Limites nas assíntotas:
-
Em
: o termo dominante quando está muito próximo de é . Assim porquetem exatamente esse comportamento e as outras parcelas permanecem finitas perto de . -
Em
: o termo dominante perto de é . Logo
- Limites nos infinitos:
- Quando
: . Além disso e , então a soma desses dois termos tende a . Assim - Quando
: e os termos racionais tendem a (comportam-se como constantes divididas por e vão para ). Assim
Concluímos que a função proposta satisfaz todas as condições do enunciado.
Passo 6
Pontos adicionais e como esboçar o gráfico na prova:
- Um ponto fácil para plotar é
. Calculando: Então o gráfico passa por . - Esboço qualitativo para desenhar: trace linhas verticais pontilhadas em
e (assíntotas verticais). Trace linhas horizontais como guias: (assíntota por ) e (assíntota por ). Entre as assíntotas, a função muda de sinal conforme os pólos; à direita de a função desce para ao se aproximar de pela direita e depois, conforme , tende para por cima ou por baixo dependendo da soma dos termos (neste caso tende para ). À esquerda de ela tende para quando e tem o comportamento de explodir para ao aproximar-se de pela esquerda.
Força aí — com essa função dá pra desenhar o esboço sem mistério: duas assíntotas verticais, dois comportamentos laterais iguais em cada assíntota, e diferentes assíntotas horizontais nos extremos.