Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos (copiei os limites exatamente do enunciado):
- O enunciado pede um esboço (ou seja, um exemplo) de função
que satisfaça todas as seguintes condições: -
. -
e . -
e . -
.
-
Essas são exatamente as exigências que a função deve satisfazer.
Passo 2
Estratégia geral para construir um exemplo: muitas funções que têm assíntotas verticais e horizontais são funções racionais (razão de polinômios). Uma forma prática é escrever
onde a constante
já garante que, se
quando
, então
(ou seja,
será a assíntota horizontal). Então precisamos construir um
que tende a zero no infinito e que cause as assíntotas verticais e o valor em
pedidos.
Explicando a ideia de assíntotas (rápido e simples):
- Se
quando , então . - Para ter uma assíntota vertical em
, normalmente colocamos um fator no denominador de . A multiplicidade desse fator determina o comportamento de sinal: - multiplicidade ímpar em
: os sinais de (e portanto de ) mudam ao atravessar (um lado vai para e o outro para ); - multiplicidade par em
: os sinais dos dois lados são iguais (ambos podem ir para , por exemplo).
Isso é importante para satisfazer as condições em(troca de sinal) e em (mesmo sinal dos dois lados).
- multiplicidade ímpar em
Passo 3
Pela análise acima:
- Para
precisamos de uma assíntota vertical com troca de sinal entre os lados . Logo, em colocamos um fator no denominador com multiplicidade ímpar (o mais simples é multiplicidade ). - Para
precisamos que ambos os lados tendam a . Logo, em colocamos um fator no denominador com multiplicidade par (o mais simples é multiplicidade , ou seja ).
Portanto uma escolha natural para
é
com
constante a ajustar. Note que aqui o numerador é constante e o denominador tem grau
, assim
quando
, garantindo a assíntota horizontal
.
Passo 4
Agora imponho o valor
. Lembrando que
, temos
Calculo
com a expressão escolhida:
Portanto
, ou seja
.
Substituindo
obtemos uma função concreta:
Passo 5
Agora verifico explicitamente cada condição para garantir que essa função realmente serve.
- Valor em
:
OK.
- Comportamento quando
. Escrevo com .
- Para
temos pequeno. O fator é negativo pequeno; o fator é aproximadamente (positivo). Então o denominador é negativo pequeno, e
logo
quando
. Isso coincide com
.
- Para
temos pequeno. Agora é positivo pequeno, positivo, então o denominador é positivo pequeno e
logo
quando
. Isso coincide com
.
Portanto o sinal troca ao passar por
, como pedido.
- Comportamento quando
. Escrevo com .
- O fator
é pequeno, mas aparece ao quadrado (sempre positivo), e fica aproximadamente (negativo e longe de zero). Assim o denominador é negativo multiplicado por um número muito pequeno positivo, dando um número negativo de módulo muito pequeno; então
Isso vale tanto para
(venho da esquerda) quanto para
(venho da direita), porque
é positivo dos dois lados. Assim
como exigido.
- Limite no infinito. Como o numerador do termo que modifica
é constante e o denominador tem grau , obtemos quando . Portanto
Todas as condições foram verificadas.
Passo 6
Resumo prático para a hora da prova (receita rápida que sempre dá certo):
- Coloca-se
assíntota horizontal um termo que vá a zero no infinito. - Em seguida coloca-se no denominador fatores
com ímpar se quer troca de sinais em e com par se quer o mesmo sinal dos dois lados. - Ajusta-se a constante multiplicativa para acertar valores como
.
No nosso caso a receita deu a função explicitada abaixo.