Os dois sistemas
\begin{aligned} & 2 x_{1}+x_{2}=3 \\\ & 4 x_{1}+3 x_{2}=5 \end{aligned} \quad \text { e } \quad \begin{aligned} & 2 x_{1}+x_{2}=-1 \\\ & 4 x_{1}+3 x_{2}=1 \end{aligned}
têm a mesma matriz de coeficientes, mas diferentes lados direitos. Resolva ambos os sistemas simultaneamente, eliminando o primeiro elemento da segunda linha da matriz aumentada
\left(\begin{array}{rr|rr} 2 & 1 & 3 & -1 \\\\ 4 & 3 & 5 & 1 \end{array}\right)
e execute a substituição reversa para cada coluna correspondente aos segundos membros.

Passo 1

O que o exercício dá e pede:
  • São dois sistemas com a mesma matriz de coeficientes, mas diferentes segundos membros:
\begin{aligned} & 2x_{1}+x_{2}=3,\\\ & 4x_{1}+3x_{2}=5, \end{aligned} \qquad \begin{aligned} & 2x_{1}+x_{2}=-1,\\\ & 4x_{1}+3x_{2}=1. \end{aligned}
  • O enunciado fornece a matriz aumentada que junta os dois segundos membros como colunas:
\left(\begin{array}{rr|rr} 2 & 1 & 3 & -1 \\\\ 4 & 3 & 5 & 1 \end{array}\right).
  • O pedido: eliminar o primeiro elemento da segunda linha da matriz aumentada (ou seja, zerar o 4 abaixo do 2) e então resolver ambos os sistemas usando substituição reversa (back-substitution) para cada coluna de termos independentes.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
  • Usamos eliminação de Gauss: escolher um pivô na primeira linha (aqui 2 na posição (1,1)) e usar uma combinação linear das linhas para zerar o elemento abaixo desse pivô (o 4 na segunda linha). Isso transforma o sistema em triangular, facilitando a solução por substituição reversa.
  • A operação de linha que usamos é
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,
porque 4 - 2\cdot 2 = 0. Essa mesma operação deve ser aplicada a todas as entradas da segunda linha, incluindo as duas colunas dos termos independentes (os dois segundos membros), para manter as relações equivalentes.

Passo 3

Executando a operação R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 na matriz aumentada, calculando cada entrada:
  • Na parte dos coeficientes:
4 - 2\cdot 2 = 0,\qquad 3 - 2\cdot 1 = 1.
  • Nas duas colunas dos termos independentes:
5 - 2\cdot 3 = 5 - 6 = -1, \qquad 1 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3.
Portanto a matriz aumentada após a eliminação fica
\left(\begin{array}{rr|rr} 2 & 1 & 3 & -1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right).

Passo 4

Interpretando a segunda linha triangular obtida como equações escalares (cada coluna dos termos independentes corresponde a um dos sistemas):
  • Para a primeira coluna de termos independentes (primeiro sistema), a segunda linha dá
0\cdot x_{1} + 1\cdot x_{2} = -1,
ou seja
x_{2} = -1.
  • Para a segunda coluna de termos independentes (segundo sistema), a segunda linha dá
0\cdot x_{1} + 1\cdot x_{2} = 3,
ou seja
x_{2} = 3.

Passo 5

Substituição reversa (voltar à primeira linha para encontrar x_{1}):
  • Primeiro sistema (quando x_{2}=-1):
    A primeira equação é
2x_{1}+x_{2}=3.
Substituindo x_{2}=-1:
2x_{1}+(-1)=3 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1}=4 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2.
  • Segundo sistema (quando x_{2}=3):
    A primeira equação é
2x_{1}+x_{2}=-1.
Substituindo x_{2}=3:
2x_{1}+3=-1 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1}=-4 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=-2.

Passo 6

Verificação rápida (substituir nas equações originais para confirmar):
  • Primeiro sistema (x_{1},x_{2})=(2,-1):
2\cdot 2 + (-1)=4-1=3\quad(\text{ok}),\qquad 4\cdot 2 + 3\cdot(-1)=8-3=5\quad(\text{ok}).
  • Segundo sistema (x_{1},x_{2})=(-2,3):
2\cdot(-2)+3=-4+3=-1\quad(\text{ok}),\qquad 4\cdot(-2)+3\cdot 3=-8+9=1\quad(\text{ok}).

Resposta

(x_{1},x_{2})=(2,-1)
(x_{1},x_{2})=(-2,3)

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