Resolva x dy/dx - 4y = x^6 e^x.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}-4y = x^6 e^x,
onde a incógnita é a função y(x). A tarefa é encontrar a solução geral y(x). Observação importante: a equação envolve divisão por x em passos seguintes, portanto vamos considerar x\neq 0.

Passo 2

Vamos primeiro escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, ou seja, na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y = Q(x).
Dividindo a equação original por x (lembrando x\neq 0) obtemos
\frac{dy}{dx}-\frac{4}{x}y = x^5 e^x.
Aqui identificamos
P(x) = -\frac{4}{x},\qquad Q(x)=x^5 e^x.

Passo 3

Vou explicar o método do fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(x)y. Se conseguirmos isso, teremos uma equação facilmente integrável. Para isso escolhemos \mu(x) que satisfaça
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = P(x).
Assim
\mu(x)=\exp\left(\int P(x)\,dx\right).
Essa é a fórmula padrão: \mu é o exponencial da integral de P.

Passo 4

Agora calculamos \mu(x) usando P(x)=-\dfrac{4}{x}:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{4}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(-4\ln|x|\right)=|x|^{-4}.
Podemos escolher \mu(x)=x^{-4} tomando um ramo (por exemplo x>0); o sinal absoluto apenas indica que x\neq 0. Essa escolha é suficiente porque constantes de sinal podem ser absorvidas na constante de integração final.

Passo 5

Multiplicamos a equação padronizada por \mu(x)=x^{-4}. A equação padronizada é
\frac{dy}{dx}-\frac{4}{x}y = x^5 e^x.
Multiplicando por x^{-4} obtemos
x^{-4}\frac{dy}{dx} - 4x^{-5}y = x^{-4}\cdot x^5 e^x = x e^x.
Observe que x^{-4}\cdot x^5 = x^{1}.

Passo 6

Verificamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada de \mu(x)y = x^{-4}y:
\frac{d}{dx}\big(x^{-4}y\big) = x^{-4}\frac{dy}{dx} + y\cdot\frac{d}{dx}(x^{-4}) = x^{-4}\frac{dy}{dx} - 4x^{-5}y.
Portanto a equação multiplicada pode ser escrita como
\frac{d}{dx}\big(x^{-4}y\big) = x e^x.

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-4}y\big)\,dx = \int x e^x\,dx.
Daí
x^{-4}y = \int x e^x\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora calculamos a integral \int x e^x\,dx por partes. Tomamos u=x e dv=e^x dx. Então du=dx e v=e^x. Pela fórmula de integração por partes:
\int x e^x\,dx = uv - \int v\,du = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + C_1.
Podemos escrever isso como
\int x e^x\,dx = e^x(x-1) + C_1.
O C_1 será absorvido no C anterior, então podemos trabalhar com a primitiva e^x(x-1).

Passo 9

Substituindo a primitiva no passo anterior obtemos
x^{-4}y = e^x(x-1) + C.
Multiplicando ambos os lados por x^4 (novamente x\neq 0) temos a solução geral:
y = x^4 e^x (x-1) + C x^4.
Podemos também escrever expandindo:
y = x^5 e^x - x^4 e^x + C x^4.

Passo 10

Resumo e observação sobre o domínio: a solução geral é válida para x\neq 0. A constante C é arbitrária (real). Se for necessário um valor em x=0 teria que analisar a equação original e condições de contorno; mas, como problema de equação diferencial, a solução geral para x\neq 0 é a acima.

Resposta

y = x^4 e^x (x-1) + C x^4

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