Resolva x dy/dx - 4y = x^6 e^x.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
onde a incógnita é a função
. A tarefa é encontrar a solução geral
. Observação importante: a equação envolve divisão por
em passos seguintes, portanto vamos considerar
.
Passo 2
Vamos primeiro escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, ou seja, na forma
Dividindo a equação original por
(lembrando
) obtemos
Aqui identificamos
Passo 3
Vou explicar o método do fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada de
. Se conseguirmos isso, teremos uma equação facilmente integrável. Para isso escolhemos
que satisfaça
Assim
Essa é a fórmula padrão:
é o exponencial da integral de
.
Passo 4
Agora calculamos
usando
:
Podemos escolher
tomando um ramo (por exemplo
); o sinal absoluto apenas indica que
. Essa escolha é suficiente porque constantes de sinal podem ser absorvidas na constante de integração final.
Passo 5
Multiplicamos a equação padronizada por
. A equação padronizada é
Multiplicando por
obtemos
Observe que
.
Passo 6
Verificamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
:
Portanto a equação multiplicada pode ser escrita como
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a
:
Daí
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora calculamos a integral
por partes. Tomamos
e
. Então
e
. Pela fórmula de integração por partes:
Podemos escrever isso como
O
será absorvido no
anterior, então podemos trabalhar com a primitiva
.
Passo 9
Substituindo a primitiva no passo anterior obtemos
Multiplicando ambos os lados por
(novamente
) temos a solução geral:
Podemos também escrever expandindo:
Passo 10
Resumo e observação sobre o domínio: a solução geral é válida para
. A constante
é arbitrária (real). Se for necessário um valor em
teria que analisar a equação original e condições de contorno; mas, como problema de equação diferencial, a solução geral para
é a acima.