Resolva a EDO abaixo aplicando a Transformada de Laplace em cada membro
y^prime prime+4 y^prime+6 y=1+e^-t onde y(0)=0 e y^prime(0)=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem $ y’’ + 4y’ + 6y = 1 + e^{-t} $, com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver EDOs transformando-as em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)
Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, as expressões ficam mais simples.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace em toda a equação:
Ly'' + 4Ly' + 6Ly = L1 + Le^-t
Substituindo pelas fórmulas das transformadas:
(s^2Y(s) - 0 - 0) + 4(sY(s) - 0) + 6Y(s) = 1s + 1s + 1
Simplificando:
s^2Y(s) + 4sY(s) + 6Y(s) = 1s + 1s + 1

Passo 4

Fatorando $ Y(s) $ do lado esquerdo:
Y(s)
Isolando $ Y(s) $:
Y(s)(s^2 + 4s + 6) = 1s + 1s + 1

Passo 5

Vamos simplificar as frações parciais. Primeiro, completamos o quadrado no denominador $ s^2 + 4s + 6 $:
s^2 + 4s + 6
Então, a expressão para $ Y(s) $ fica:
s^2 + 4s + 6 = (s + 2)^2 + 2

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
L^-11s((s + 2)^2 + 2) = 12 (1 - e^-2t(cos(raiz2t) + raiz2sin(raiz2t)))
e
L^-11(s + 1)((s + 2)^2 + 2) = e^-t ( 12 - 12e^-t(cos(raiz2t) + raiz2sin(raiz2t)) )

Resposta

A solução da EDO é:
y(t) = 12 (1 - e^-2t(cos(raiz2t) + raiz2sin(raiz2t))) + e^-t ( 12 - 12e^-t(cos(raiz2t) + raiz2sin(raiz2t)) )

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