Resolva a EDO abaixo aplicando a Transformada de Laplace em cada membro
onde
e
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem $ y’’ + 4y’ + 6y = 1 + e^{-t} $, com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver EDOs transformando-as em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, as expressões ficam mais simples.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace em toda a equação:
Substituindo pelas fórmulas das transformadas:
Simplificando:
Passo 4
Fatorando $ Y(s) $ do lado esquerdo:
Isolando $ Y(s) $:
Passo 5
Vamos simplificar as frações parciais. Primeiro, completamos o quadrado no denominador $ s^2 + 4s + 6 $:
Então, a expressão para $ Y(s) $ fica:
Passo 6
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
e
Resposta
A solução da EDO é: