Utilizando a Substituição Trigonométrica, calcule as primitivas.
§ integral 2y^3 raizy^2-1 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva integral 2y^3raizy^2-1,dy usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolve integrais com raizy^2-1, então vamos usar a substituição y=sectheta, sabendo que raizy^2-1=tantheta e dy=secthetatantheta,dtheta.

Passo 2

Com a substituição y=sectheta, temos:
y^3=sec^3theta, raizy^2-1=tantheta, dy=secthetatantheta,dtheta
Logo o integrando fica
2y^3raizy^2-1,dy =2;secthetatanthetasec^3theta;tantheta,dtheta =2;1sec^2theta,dtheta =2cos^2theta,dtheta

Passo 3

Agora usamos a identidade cos^2theta=tfrac1+cos2theta2 para reescrever:
2cos^2theta =2cdot1+cos2theta2 =1+cos2theta
Então a integral se transforma em
integrall(1+cos2thetar),dtheta =integral dtheta+integralcos2theta,dtheta =theta+12sin2theta + C

Passo 4

Falta voltar para y. Como y=sectheta, temos theta=arcsec(y). Além disso
sin2theta=2sinthetacostheta implies 12sin2theta=sinthetacostheta
Na mesma substituição, num triângulo retângulo, costheta=tfrac1y e sintheta=tfracraizy^2-1y. Assim
sinthetacostheta =raizy^2-1y;1y =raizy^2-1y^2

Passo 5

Portanto a primitiva fica
theta+sinthetacostheta + C =arcsec(y)+raizy^2-1y^2+C

Resposta

arcsec(y)+raizy^2-1y^2+C

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