Utilizando Substituição de Variáveis e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
© integral e^4 x+2 e^2 x-e^xe^2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva de integral e^4x+2e^2x-e^xe^2x+1,dx. Aqui vamos usar substituição de variáveis para transformar exponenciais em polinômio em u e depois frações parciais para integrar.

Passo 2

Fazemos a substituição u=e^x. Então e^2x=u^2, e^4x=u^4 e dx=duu. A integral original fica
integral e^4x+2e^2x-e^xe^2x+1,dx = integral u^4+2u^2-uu(u^2+1),du

Passo 3

Simplificando a fração:
u^4+2u^2-uu(u^2+1) = u^3+2u-1u^2+1 = u + u-1u^2+1,onde fizemos divisão polinomial de u^3+2u-1 por u^2+1. Assim a integral se separa:
integrall(u + u-1u^2+1r),du = integral u,du + integral uu^2+1,du - integral 1u^2+1,du

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral u,du=u^22, integral uu^2+1,du=12ln(u^2+1), integral 1u^2+1,du=arctan(u)

Passo 5

Somando os resultados e voltando para x com u=e^x:

Resposta

e^2x2+tfrac12lnl(e^2x+1r)-arctanl(e^xr)+C

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