Utilizando Substituição de Variáveis e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(i) integral 1y raizy+9 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função
(i) integral 1yraizy+9,dy.
O conteúdo envolve técnica de substituição de variáveis e frações parciais.

Passo 2

Vamos usar a substituição
t = raizy+9Rightarrow t^2 = y+9Rightarrow y = t^2-9e dy = 2t,dt
Substituindo na integral original:
integral 1yraizy+9,dy = integral 1(t^2-9),t,(2t,dt) = 2integral 1t^2-9,dt

Passo 3

Agora fazemos frações parciais em 1t^2-9. Escrevendo
1t^2-9 = At-3 + Bt+3,
temos
1 = A(t+3) + B(t-3)
Igualando coeficientes, obtemos A=tfrac16 e B=-tfrac16. Logo,
2integral 1t^2-9,dt = 2integral l(1/6t-3 - 1/6t+3r)dt = 26l(ln|t-3| - ln|t+3|r) + C
Simplificando, isso dá
13lnl|t-3t+3r| + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável original y, lembrando que t=raizy+9. Assim a primitiva fica
13lnl|raizy+9-3raizy+9+3r| + C

Resposta

13lnl|raizy+9-3raizy+9+3r| + C

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