Resolva a EDO através de uma série de potências em torno de x_{o} dado. Encontre a relação de recorrência. Encontre os quatro primeiros termos de cada uma das séries de y_{1} e y_{2} (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral de cada uma das duas séries.
y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+5 y=0 \quad x_{o}=0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y''-2xy'+5y=0
com centro x_{0}=0. O que se pede:
  • Encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes de uma série de potências centrada em 0.
  • Obter os quatro primeiros termos de cada uma das duas séries independentes y_{1} e y_{2} (a menos que a série termine antes).
  • Se possível, apresentar o termo geral de cada uma das duas séries.
Informações relevantes dadas:
  • Ponto de expansão: x_{0}=0.
  • A equação é linear de segunda ordem, então esperamos duas soluções linearmente independentes, que aparecerão pelas escolhas independentes dos coeficientes iniciais a_{0} e a_{1} da série.

Passo 2

Método (explicação didática e passo inicial): vamos procurar uma solução como série de potências centrada em 0. Isto significa assumir
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
onde os a_{n} são coeficientes desconhecidos. Esse procedimento é útil porque ao substituir a série e suas derivadas na EDO podemos igualar coeficientes de potências de x e obter uma relação entre os a_{n}. As primeiras derivadas da série são obtidas termo a termo usando a regra de derivação de potências.

Passo 3

Derivadas da série (passo a passo):
  • Primeira derivada:
y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}.
  • Segunda derivada:
y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_{n} x^{n-2}.
Para somar as séries com potências iguais, reindexamos cada soma para ter a mesma potência x^{k}. Tomando k=n-2 na segunda derivada obtemos
y''=\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}.
A série de -2x y' é
-2x y'=-2\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n} = -2\sum_{k=0}^{\infty} k a_{k} x^{k},
onde no último passo usamos que o termo k=0 é nulo (já que tem fator k). E por fim
5y=5\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}.

Passo 4

Substituição na EDO e obtenção da relação de recorrência:
Somando as três séries (todas em potências x^{k}) e exigindo que o coeficiente de cada x^{k} seja zero, obtemos
\sum_{k=0}^{\infty}\big[(k+2)(k+1)a_{k+2}-2k a_{k}+5a_{k}\big]x^{k}=0.
Logo, para todo k\ge0 o coeficiente deve anular-se:
(k+2)(k+1)a_{k+2}+ (5-2k)a_{k}=0.
Isolando a_{k+2} vem a relação de recorrência
\boxed{\,a_{k+2}=\dfrac{2k-5}{(k+2)(k+1)}\,a_{k}\,,\qquad k=0,1,2,\dots\, }.

Passo 5

Interpretação da recorrência e independência das soluções:
  • A recorrência liga a_{k+2} a a_{k}. Isso significa que os coeficientes com índices pares dependem somente de a_{0} e os ímpares dependem somente de a_{1}. Portanto há duas soluções independentes: uma série par (tomando a_{0} arbitrário e a_{1}=0) e uma série ímpar (tomando a_{1} arbitrário e a_{0}=0).
  • A seguir calculamos explicitamente os primeiros coeficientes de cada série a partir da recorrência.

Passo 6

Cálculo dos coeficientes da solução par ( y_{1}, escolher a_{0}=1, a_{1}=0):
Usando k=0 na recorrência:
a_{2}=\frac{2\cdot 0-5}{(0+2)(0+1)}a_{0}=\frac{-5}{2}a_{0}=\frac{-5}{2}.
Usando k=2:
a_{4}=\frac{2\cdot 2-5}{(4)(3)}a_{2}=\frac{4-5}{12}a_{2}=\frac{-1}{12}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{5}{24}.
Usando k=4:
a_{6}=\frac{2\cdot 4-5}{(6)(5)}a_{4}=\frac{8-5}{30}a_{4}=\frac{3}{30}\cdot\frac{5}{24}=\frac{1}{10}\cdot\frac{5}{24}=\frac{1}{48}.
Assim os quatro primeiros termos (até x^{6}) da solução ímpar-normalizada por a_{0}=1 são:
y_{1}(x)=1-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{5}{24}x^{4}+\frac{1}{48}x^{6}+\cdots.

Passo 7

Cálculo dos coeficientes da solução ímpar ( y_{2}, escolher a_{0}=0, a_{1}=1):
Usando k=1 na recorrência:
a_{3}=\frac{2\cdot 1-5}{(3)(2)}a_{1}=\frac{-3}{6}=\;-\frac{1}{2}.
Usando k=3:
a_{5}=\frac{2\cdot 3-5}{(5)(4)}a_{3}=\frac{6-5}{20}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{20}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{40}.
Usando k=5:
a_{7}=\frac{2\cdot 5-5}{(7)(6)}a_{5}=\frac{10-5}{42}\cdot\left(-\frac{1}{40}\right)=\frac{5}{42}\cdot\left(-\frac{1}{40}\right)=-\frac{1}{336}.
Portanto os quatro primeiros termos (até x^{7}) da solução com a_{1}=1 são:
y_{2}(x)=x-\frac{1}{2}x^{3}-\frac{1}{40}x^{5}-\frac{1}{336}x^{7}+\cdots.

Passo 8

Termo geral (fórmula em produto) para as duas séries:
Como a recorrência liga coeficientes com passo 2, podemos escrever fórmulas em produto para os subíndices pares e ímpares.
Para os termos pares ( a_{2m}, m\ge0) tomando a_{0} livre:
\boxed{\,a_{2m}=a_{0}\,\dfrac{\displaystyle\prod_{j=0}^{m-1}(4j-5)}{(2m)!\!}\,,\qquad m=0,1,2,\dots\,},
onde a convenção de produto vazio (para m=0) dá a_{0} corretamente.
Para os termos ímpares ( a_{2m+1}, m\ge0) tomando a_{1} livre:
\boxed{\,a_{2m+1}=a_{1}\,\dfrac{\displaystyle\prod_{j=0}^{m-1}(4j-3)}{(2m+1)!\!}\,,\qquad m=0,1,2,\dots\,}.
Essas expressões multiplicativas seguem diretamente da aplicação iterada da recorrência a_{k+2}=\dfrac{2k-5}{(k+2)(k+1)}a_{k}. Elas são uma forma explícita (produto finito) para o coeficiente geral em cada paridade; pode-se também reescrever esses produtos usando funções gama, mas a forma em produto é suficiente e clara para uso em prova.

Resposta

\text{Recorrência:}\quad a_{k+2}=\dfrac{2k-5}{(k+2)(k+1)}\,a_{k},\qquad k=0,1,2,\dotsê
\text{Solução par (normalizada }a_{0}=1):\quad y_{1}(x)=1-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{5}{24}x^{4}+\frac{1}{48}x^{6}+\cdotsçã
\text{Solução ímpar (normalizada }a_{1}=1):\quad y_{2}(x)=x-\frac{1}{2}x^{3}-\frac{1}{40}x^{5}-\frac{1}{336}x^{7}+\cdotsçãí
\text{Termo geral (pares):}\quad a_{2m}=a_{0}\,\dfrac{\displaystyle\prod_{j=0}^{m-1}(4j-5)}{(2m)!},\quad m\ge0
\text{Termo geral (ímpares):}\quad a_{2m+1}=a_{1}\,\dfrac{\displaystyle\prod_{j=0}^{m-1}(4j-3)}{(2m+1)!},\quad m\ge0í

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