Resolva a EDO através de uma série de potências em torno de
dado. Encontre a relação de recorrência. Encontre os quatro primeiros termos de cada uma das séries de
e
(a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral de cada uma das duas séries.
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
com centro
. O que se pede:
- Encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes de uma série de potências centrada em
. - Obter os quatro primeiros termos de cada uma das duas séries independentes
e (a menos que a série termine antes). - Se possível, apresentar o termo geral de cada uma das duas séries.
Informações relevantes dadas:
- Ponto de expansão:
. - A equação é linear de segunda ordem, então esperamos duas soluções linearmente independentes, que aparecerão pelas escolhas independentes dos coeficientes iniciais
e da série.
Passo 2
Método (explicação didática e passo inicial): vamos procurar uma solução como série de potências centrada em
. Isto significa assumir
onde os
são coeficientes desconhecidos. Esse procedimento é útil porque ao substituir a série e suas derivadas na EDO podemos igualar coeficientes de potências de
e obter uma relação entre os
. As primeiras derivadas da série são obtidas termo a termo usando a regra de derivação de potências.
Passo 3
Derivadas da série (passo a passo):
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Para somar as séries com potências iguais, reindexamos cada soma para ter a mesma potência
. Tomando
na segunda derivada obtemos
A série de
é
onde no último passo usamos que o termo
é nulo (já que tem fator
). E por fim
Passo 4
Substituição na EDO e obtenção da relação de recorrência:
Somando as três séries (todas em potências ) e exigindo que o coeficiente de cada
seja zero, obtemos
Somando as três séries (todas em potências
Logo, para todo
o coeficiente deve anular-se:
Isolando
vem a relação de recorrência
Passo 5
Interpretação da recorrência e independência das soluções:
- A recorrência liga
a . Isso significa que os coeficientes com índices pares dependem somente de e os ímpares dependem somente de . Portanto há duas soluções independentes: uma série par (tomando arbitrário e ) e uma série ímpar (tomando arbitrário e ). - A seguir calculamos explicitamente os primeiros coeficientes de cada série a partir da recorrência.
Passo 6
Cálculo dos coeficientes da solução par (
, escolher
,
):
Usando na recorrência:
Usando
Usando
:
Usando
:
Assim os quatro primeiros termos (até
) da solução ímpar-normalizada por
são:
Passo 7
Cálculo dos coeficientes da solução ímpar (
, escolher
,
):
Usando na recorrência:
Usando
Usando
:
Usando
:
Portanto os quatro primeiros termos (até
) da solução com
são:
Passo 8
Termo geral (fórmula em produto) para as duas séries:
Como a recorrência liga coeficientes com passo , podemos escrever fórmulas em produto para os subíndices pares e ímpares.
Como a recorrência liga coeficientes com passo
Para os termos pares (
,
) tomando
livre:
onde a convenção de produto vazio (para
) dá
corretamente.
Para os termos ímpares (
,
) tomando
livre:
Essas expressões multiplicativas seguem diretamente da aplicação iterada da recorrência
. Elas são uma forma explícita (produto finito) para o coeficiente geral em cada paridade; pode-se também reescrever esses produtos usando funções gama, mas a forma em produto é suficiente e clara para uso em prova.