Resolva a EDO através de uma série de potências em torno de x_{o} dado. Encontre a relação de recorrência. Encontre os quatro primeiros termos de cada uma das séries de y_{1} e y_{2} (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral de cada uma das duas séries.
y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+7 y=0 \quad x_{o}=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e o ponto de expansão:
y'' - 2x y' + 7y = 0,\qquad x_0=0.
Pede-se:
  • encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes da série de potências em torno de x_0=0;
  • obter os quatro primeiros termos de cada uma das duas soluções independentes y_1 (associada ao termo inicial par) e y_2 (associada ao termo inicial ímpar), salvo se a série terminar antes;
  • se possível, encontrar o termo geral de cada série.
Informações importantes dadas:
  • a equação é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes polinomiais, portanto devemos tentar uma solução em série de potências centrada em 0;
  • os coeficientes iniciais a_0 e a_1 serão constantes arbitrárias que geram duas soluções independentes (uma com termos pares e outra com termos ímpares).

Passo 2

Vamos assumir uma solução em série de potências (série de Maclaurin), escrita como
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são constantes a determinar. Ideia: substituir essa série e suas derivadas na EDO, agrupar potências de x iguais e exigir que o coeficiente de cada x^n seja zero — isso dá uma relação de recorrência entre os a_n.
Explicando a ideia passo a passo: expandimos y,y',y'' em séries; alinha-se os expoentes para obter uma soma do tipo \sum_{n=0}^\infty(\cdots)x^n=0; coeficientes entre parênteses devem ser zero para todo n. Pronto — daí sai a recorrência.

Passo 3

Calculemos y' e y'' a partir de y:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
Para substituir na EDO é conveniente que todas as somas estejam em potências x^n. Reescrevemos y'' mudando o índice n\to n+2:
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}.
Também escrevemos y' como série em x^{n} multiplicando por x quando aparecer -2x y':
-2x y' = -2\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n} = -2\sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n},
onde no último passo a soma pode começar em n=0 porque o termo n=0 é zero.
E 7y é simplesmente
7y = 7\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.

Passo 4

Somando as três séries (todas em x^n) e impondo que a soma seja zero para todo x, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\Big[(n+2)(n+1)a_{n+2} -2n a_n + 7 a_n\Big] x^n = 0.
Como a soma é identicamente zero, os coeficientes de cada x^n devem ser zero. Assim, a condição é
(n+2)(n+1)a_{n+2} -2n a_n + 7 a_n = 0\qquad\text{para todo }n\ge0.

Passo 5

Rearranjando a expressão acima isolamos a_{n+2}:
(n+2)(n+1)a_{n+2} + (7-2n)a_n = 0,
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a_{n+2} = \frac{2n-7}{(n+2)(n+1)}\,a_n.
Esta é a relação de recorrência geral. Observações didáticas:
  • A recorrência liga a_{n+2} a a_n, isto é, separa coeficientes pares e ímpares: os a_{2k} dependem só de a_0, e os a_{2k+1} dependem só de a_1. Por isso teremos duas soluções independentes: uma série com só potências pares (ligada a a_0) e outra com só potências ímpares (ligada a a_1).
  • As duas constantes livres a_0 e a_1 representam as duas condições iniciais independentes de uma EDO de segunda ordem.

Passo 6

Vamos calcular explicitamente os coeficientes iniciais para a solução par (escolhemos normalizar a_0=1 para obter y_1). Use a recorrência com n=0,2,4,\dots.
Para n=0:
a_2=\frac{2\cdot 0-7}{(0+2)(0+1)}a_0=\frac{-7}{2}a_0.
Com a_0=1 obtemos a_2=-\tfrac{7}{2}.
Para n=2:
a_4=\frac{2\cdot 2-7}{(4)(3)}a_2=\frac{4-7}{12}a_2=\frac{-3}{12}a_2=-\frac{1}{4}a_2.
Substituindo a_2=-\tfrac{7}{2}
a_4=-\frac{1}{4}\left(-\tfrac{7}{2}\right)=\frac{7}{8}.
Para n=4:
a_6=\frac{2\cdot 4-7}{(6)(5)}a_4=\frac{8-7}{30}a_4=\frac{1}{30}a_4.
Substituindo a_4=\tfrac{7}{8}
a_6=\frac{1}{30}\cdot\frac{7}{8}=\frac{7}{240}.
Assim, com a_0=1, os primeiros termos não nulos da série par são:
a_0=1,\quad a_2=-\tfrac{7}{2},\quad a_4=\tfrac{7}{8},\quad a_6=\tfrac{7}{240},\\ \ldots

Passo 7

Agora para a solução ímpar normalizamos a_1=1 e calculamos a_3,a_5,a_7,\dots usando a recorrência com n=1,3,5,\dots.
Para n=1:
a_3=\frac{2\cdot 1-7}{(3)(2)}a_1=\frac{2-7}{6}a_1=\frac{-5}{6}a_1.
Com a_1=1 temos a_3=-\tfrac{5}{6}.
Para n=3:
a_5=\frac{2\cdot 3-7}{(5)(4)}a_3=\frac{6-7}{20}a_3=\frac{-1}{20}a_3.
Substituindo a_3=-\tfrac{5}{6}
a_5=-\frac{1}{20}\left(-\tfrac{5}{6}\right)=\frac{1}{24}.
Para n=5:
a_7=\frac{2\cdot 5-7}{(7)(6)}a_5=\frac{10-7}{42}a_5=\frac{3}{42}a_5=\frac{1}{14}a_5.
Substituindo a_5=\tfrac{1}{24}
a_7=\frac{1}{14}\cdot\frac{1}{24}=\frac{1}{336}.
Assim, com a_1=1, os primeiros termos não nulos da série ímpar são:
a_1=1,\quad a_3=-\tfrac{5}{6},\quad a_5=\tfrac{1}{24},\quad a_7=\tfrac{1}{336},\\ \ldots

Passo 8

Escrevemos então as duas soluções independentes normalizadas (cada uma com a sua constante inicial igual a 1), truncadas nos quatro primeiros termos não nulos:
Solução par (tomando a_0=1, que chamamos y_1):
y_1(x)=1 - \tfrac{7}{2}x^2 + \tfrac{7}{8}x^4 + \tfrac{7}{240}x^6 + \cdots.
Solução ímpar (tomando a_1=1, que chamamos y_2):
y_2(x)=x - \tfrac{5}{6}x^3 + \tfrac{1}{24}x^5 + \tfrac{1}{336}x^7 + \cdots.
Essas duas séries formam uma base de soluções da EDO; a solução geral é y=C_1 y_1 + C_2 y_2, com constantes C_1,C_2.

Passo 9

Termo geral (forma produto) — escrevemos o comportamento geral dos coeficientes separando pares e ímpares.
Para índices pares, escrevendo a_{2k} em função de a_0 temos, para k\ge1,
a_{2k}=a_0\prod_{m=0}^{k-1}\frac{4m-7}{(2m+2)(2m+1)}.
Isso vem de aplicar repetidamente a recorrência a_{2(m+1)}=\dfrac{4m-7}{(2m+2)(2m+1)}a_{2m}.
Para índices ímpares, escrevendo a_{2k+1} em função de a_1 temos, para k\ge1,
a_{2k+1}=a_1\prod_{m=0}^{k-1}\frac{4m-5}{(2m+3)(2m+2)}.
Portanto, as séries podem ser escritas em termos desses produtos (essas fórmulas fornecem o termo geral dos coeficientes de cada solução par/ímpar). Se desejar, esses produtos podem ser reescritos via funções Gamma ou fatoriais, mas a forma produto é suficiente e explícita para uso em prova.

Resposta

Relação de recorrência: a_{n+2}=\dfrac{2n-7}{(n+2)(n+1)}\,a_n.
Solução par (primeiros quatro termos, com a_0=1): y_1(x)=1 - \tfrac{7}{2}x^2 + \tfrac{7}{8}x^4 + \tfrac{7}{240}x^6 + \cdots.
Solução ímpar (primeiros quatro termos, com a_1=1): y_2(x)=x - \tfrac{5}{6}x^3 + \tfrac{1}{24}x^5 + \tfrac{1}{336}x^7 + \cdots.
Termo geral dos coeficientes: a_{2k}=a_0\prod_{m=0}^{k-1}\dfrac{4m-7}{(2m+2)(2m+1)} e a_{2k+1}=a_1\prod_{m=0}^{k-1}\dfrac{4m-5}{(2m+3)(2m+2)} (para k\ge1).

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