Resolva a EDO através de uma série de potências em torno de
dado. Encontre a relação de recorrência. Encontre os quatro primeiros termos de cada uma das séries de
e
(a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral de cada uma das duas séries.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e o ponto de expansão:
Pede-se:
- encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes da série de potências em torno de
; - obter os quatro primeiros termos de cada uma das duas soluções independentes
(associada ao termo inicial par) e (associada ao termo inicial ímpar), salvo se a série terminar antes; - se possível, encontrar o termo geral de cada série.
Informações importantes dadas:
- a equação é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes polinomiais, portanto devemos tentar uma solução em série de potências centrada em
; - os coeficientes iniciais
e serão constantes arbitrárias que geram duas soluções independentes (uma com termos pares e outra com termos ímpares).
Passo 2
Vamos assumir uma solução em série de potências (série de Maclaurin), escrita como
onde os
são constantes a determinar. Ideia: substituir essa série e suas derivadas na EDO, agrupar potências de
iguais e exigir que o coeficiente de cada
seja zero — isso dá uma relação de recorrência entre os
.
Explicando a ideia passo a passo: expandimos
em séries; alinha-se os expoentes para obter uma soma do tipo
; coeficientes entre parênteses devem ser zero para todo
. Pronto — daí sai a recorrência.
Passo 3
Calculemos
e
a partir de
:
Para substituir na EDO é conveniente que todas as somas estejam em potências
. Reescrevemos
mudando o índice
:
Também escrevemos
como série em
multiplicando por
quando aparecer
:
onde no último passo a soma pode começar em
porque o termo
é zero.
E
é simplesmente
Passo 4
Somando as três séries (todas em
) e impondo que a soma seja zero para todo
, obtemos
Como a soma é identicamente zero, os coeficientes de cada
devem ser zero. Assim, a condição é
Passo 5
Rearranjando a expressão acima isolamos
:
logo
Esta é a relação de recorrência geral. Observações didáticas:
- A recorrência liga
a , isto é, separa coeficientes pares e ímpares: os dependem só de , e os dependem só de . Por isso teremos duas soluções independentes: uma série com só potências pares (ligada a ) e outra com só potências ímpares (ligada a ). - As duas constantes livres
e representam as duas condições iniciais independentes de uma EDO de segunda ordem.
Passo 6
Vamos calcular explicitamente os coeficientes iniciais para a solução par (escolhemos normalizar
para obter
). Use a recorrência com
.
Para
:
Com
obtemos
.
Para
:
Substituindo
dá
Para
:
Substituindo
dá
Assim, com
, os primeiros termos não nulos da série par são:
Passo 7
Agora para a solução ímpar normalizamos
e calculamos
usando a recorrência com
.
Para
:
Com
temos
.
Para
:
Substituindo
dá
Para
:
Substituindo
dá
Assim, com
, os primeiros termos não nulos da série ímpar são:
Passo 8
Escrevemos então as duas soluções independentes normalizadas (cada uma com a sua constante inicial igual a
), truncadas nos quatro primeiros termos não nulos:
Solução par (tomando
, que chamamos
):
Solução ímpar (tomando
, que chamamos
):
Essas duas séries formam uma base de soluções da EDO; a solução geral é
, com constantes
.
Passo 9
Termo geral (forma produto) — escrevemos o comportamento geral dos coeficientes separando pares e ímpares.
Para índices pares, escrevendo
em função de
temos, para
,
Isso vem de aplicar repetidamente a recorrência
.
Para índices ímpares, escrevendo
em função de
temos, para
,
Portanto, as séries podem ser escritas em termos desses produtos (essas fórmulas fornecem o termo geral dos coeficientes de cada solução par/ímpar). Se desejar, esses produtos podem ser reescritos via funções Gamma ou fatoriais, mas a forma produto é suficiente e explícita para uso em prova.
Resposta
Relação de recorrência:
Solução par (primeiros quatro termos, com ):
Solução ímpar (primeiros quatro termos, com ):
Termo geral dos coeficientes: e
(para
).
Solução par (primeiros quatro termos, com
Solução ímpar (primeiros quatro termos, com
Termo geral dos coeficientes: