Encontre a solução geral da equação com condições iniciais:
y^prime prime prime+3 y^prime prime+3 y^prime+y=e^x, y(0)=0, y^prime(0)=1, y^prime prime(0)=0

Passo 1

Temos a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 3y'' + 3y' + y = e^x,
e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0. Para resolver, vamos encontrar primeiro a solução homogênea (através da equação característica), depois uma solução particular por coeficientes indeterminados e, por fim, ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
yh'''+3yh''+3yh'+yh=0
A equação característica é
lambda^3+3lambda^2+3lambda+1=(lambda+1)^3=0, 
logo temos raiz lambda=-1 de multiplicidade 3. Assim,
yh=(C1 + C2 x + C3 x^2)e^-x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da forma yp=Ae^x. Substituindo em
yp'''+3yp''+3yp'+yp=(1+3+3+1)A e^x=8A e^x iqua e^x,
precisamos de 8A e^x=e^x, então
8A=1 A=18
Logo
yp=18e^x

Passo 4

A solução geral é
y=yh+yp=(C1 + C2 x + C3 x^2)e^-x+18e^x
Para determinar C1,C2,C3, usamos as condições iniciais:
  • y(0)=0
C1+18=0Longrightarrow C1=-18
  • Derivando e avaliando em 0, obtemos
y'(0)=(C2-C1)+18=1Longrightarrow C2=34
  • Para y''(0)=0, calcula-se
y''(0)=2C3-2C2+C1+18=0
Substituindo C1=-tfrac18 e C2=tfrac34, vem
2C3-tfrac32=0Longrightarrow C3=34

Passo 5

Com as constantes achadas, a solução final é
y(x)=l(-18+34x+34x^2r)e^-x+18e^x

Resposta

y(x)=\bigl(-\tfrac18+\tfrac34x+\tfrac34x2\bigr)e{-x}+\tfrac18e^x

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