Encontre a solução geral da equação com condições iniciais:
Passo 1
Temos a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
e as condições iniciais
,
,
. Para resolver, vamos encontrar primeiro a solução homogênea (através da equação característica), depois uma solução particular por coeficientes indeterminados e, por fim, ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
A equação característica é
logo temos raiz
de multiplicidade 3. Assim,
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular da forma
. Substituindo em
precisamos de
, então
Logo
Passo 4
A solução geral é
Para determinar
, usamos as condições iniciais:
-
dá
- Derivando e avaliando em 0, obtemos
- Para
, calcula-se
Substituindo
e
, vem
Passo 5
Com as constantes achadas, a solução final é
Resposta
y(x)=\bigl(-\tfrac18+\tfrac34x+\tfrac34x2\bigr)e{-x}+\tfrac18e^x