Use a fórmula do comprimento de arco (3) para determinar o comprimento da curva y=3-2 x,-1 <= x <= 3. Confira sua resposta observando que a curva é um segmento de reta e calculando seu comprimento por meio da fórmula da distância. y=3-2 x

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por y=3-2x no intervalo -1<= x<=3. O conteúdo é o comprimento de arco de uma função y=f(x), que vem dado pela fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Primeiro achamos a derivada de y. Como
y = 3 - 2x,
temos
y' = dydx = -2

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, o integrando é
raiz1 + (y')^2 = raiz1 + (-2)^2 = raiz5,
constante. Logo
L = integral-1^3 raiz5;dx = raiz5,l[xr]-1^3 = raiz5,(3 - (-1)) = 4raiz5

Passo 4

Para conferir, note que a curva é um segmento de reta ligando os pontos
P1 = (-1,,3 - 2(-1)) = (-1,,5) e P2 = (3,,3 - 2cdot3) = (3,,-3)
Usando a fórmula da distância,
dist(P1,P2) = raiz(3 - (-1))^2 + (-3 - 5)^2 = raiz4^2 + (-8)^2 = raiz16 + 64 = raiz80 = 4raiz5

Passo 5

Ambos os métodos dão o mesmo resultado.

Resposta

4raiz5

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