Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:
(x^2+y^2) d x-2 x y d y=0

Passo 1

Primeiro, anota aí o enunciado: a gente quer resolver a equação diferencial
(x^2+y^2),dx - 2xy,dy = 0
Esse tipo de equação é homogênea porque as funções que multiplicam dx e dy são homogêneas de mesmo grau (grau 2). Vamos usar a técnica de substituição para eq. homogêneas.

Passo 2

Para eq. homogênea, fazemos a troca y = u x, isto é, u = y/x. Daí
dy = u,dx + x,du
Substituindo em
(x^2+y^2),dx - 2xy,dy = 0

Passo 3

Substituindo y = ux e dy = u,dx + x,du obtemos:
(x^2 + (ux)^2),dx - 2x(ux)(u,dx + x,du) = 0
Simplificando:
x^2(1+u^2),dx - 2x^2u^2,dx - 2x^3u,du = 0
Ou seja:
x^2(1 - u^2),dx - 2x^3u,du = 0

Passo 4

Agora dividimos tudo por x^2 para separar as variáveis:
(1 - u^2),dx - 2x u,du = 0
Reorganizando:
dxx = 2u1 - u^2,du

Passo 5

Integramos os dois lados:
integral dxx = integral 2u1 - u^2,du
No lado esquerdo vem ln|x|. No direito, faça t = 1 - u^2, então dt = -2u,du, logo
integral 2u1 - u^2,du = -integral dtt = -ln|t| = -ln|1 - u^2|

Passo 6

Juntando os resultados:
ln|x| = -ln|1 - u^2| + C1
Podemos escrever:
lnl|x(1 - u^2)r| = C1
Voltando a u = y/x, temos
xl(1 - (y/x)^2r) = C
que dá
x^2 - y^2x = C
Multiplicando por x:
x^2 - y^2 = Cx

Resposta

x^{2} - y^{2} = Cx

Exercícios relacionados