Resolva as EDO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária e pede a sua solução geral:
Informações relevantes fornecidas:
Não há figura nem dados adicionais. A incógnita é a função
. A equação está escrita em forma de primeira ordem.
Passo 2
Reescrevo a equação numa forma padrão para equações lineares de 1ª ordem:
Aqui identificamos
Explicação curta: nesta forma,
é a função que multiplica
e
é o termo não-homogêneo.
Passo 3
Vou usar o método do fator integrante. Lembra: para
um fator integrante
satisfaz
Por que isso funciona? Porque ao multiplicar a equação por
obtemos
e se
foi escolhida como acima, então
, logo o lado esquerdo é a derivada do produto:
Assim basta integrar ambos os lados para obter
.
Passo 4
Calculo o fator integrante para
.
Primeiro escrevo a integral:
Primeiro escrevo a integral:
Usando
faço a substituição
,
. Então
Portanto
Podemos escolher
(o fator multiplicativo constante de sinal não altera a solução geral). Note que isso exige
(ou seja
).
Passo 5
Multiplico a equação original por
. A equação original era
Multiplicando por
obtemos
Simplifico termos conhecidos:
e
. Logo
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Agora integro ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolo
para obter a solução geral:
Posso também escrever
Lembrete importante sobre domínio: essa solução é válida para
tais que
, i.e.
com
. Pronto — essa é a família de soluções gerais da EDO.