Resolva as EDO:
\frac{d y}{d x}+y \operatorname{cotg}(x)=\operatorname{cossec}(x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária e pede a sua solução geral:
\frac{d y}{d x}+y\,\operatorname{cotg}(x)=\operatorname{cossec}(x).
Informações relevantes fornecidas:
\text{a equação é } \frac{dy}{dx}+y\,\operatorname{cotg}(x)=\operatorname{cossec}(x).çãé
Não há figura nem dados adicionais. A incógnita é a função y(x). A equação está escrita em forma de primeira ordem.

Passo 2

Reescrevo a equação numa forma padrão para equações lineares de 1ª ordem:
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Aqui identificamos
P(x)=\cot(x)\quad\text{(uso o símbolo padrão }\cot\text{ para }\operatorname{cotg}),\qquad Q(x)=\csc(x)\quad\text{(onde }\csc(x)=\frac{1}{\sin x}\text{)}.íã
Explicação curta: nesta forma, P(x) é a função que multiplica y e Q(x) é o termo não-homogêneo.

Passo 3

Vou usar o método do fator integrante. Lembra: para
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x),
um fator integrante \mu(x) satisfaz
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Por que isso funciona? Porque ao multiplicar a equação por \mu obtemos
\mu y'+\mu P y = \mu Q,
e se \mu foi escolhida como acima, então \mu'=\mu P, logo o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu Q.
Assim basta integrar ambos os lados para obter \mu y.

Passo 4

Calculo o fator integrante para P(x)=\cot x.
Primeiro escrevo a integral:
\int \cot x\,dx.
Usando \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} faço a substituição u=\sin x, du=\cos x\,dx. Então
\int \cot x\,dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+\text{const}=\ln|\sin x|+\text{const}.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\big(\ln|\sin x|\big)=|\sin x|.
Podemos escolher \mu(x)=\sin x (o fator multiplicativo constante de sinal não altera a solução geral). Note que isso exige \sin x\neq 0 (ou seja x\neq k\pi).

Passo 5

Multiplico a equação original por \mu(x)=\sin x. A equação original era
\frac{dy}{dx}+y\cot x=\csc x.
Multiplicando por \sin x obtemos
\sin x\frac{dy}{dx}+\sin x\cot x\;y=\sin x\csc x.
Simplifico termos conhecidos: \sin x\cot x=\cos x e \sin x\csc x=1. Logo
\sin x\frac{dy}{dx}+\cos x\;y = 1.
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(\sin x\;y\big)=1.
Agora integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(\sin x\;y\big)\,dx=\int 1\,dx.
Isso dá
\sin x\;y = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolo y para obter a solução geral:
y(x)=\frac{x+C}{\sin x}.
Posso também escrever
y(x)=x\csc x + C\csc x.
Lembrete importante sobre domínio: essa solução é válida para x tais que \sin x\neq 0, i.e. x\neq k\pi com k\in\mathbb{Z}. Pronto — essa é a família de soluções gerais da EDO.

Resposta

y(x)=\frac{x+C}{\sin x},\qquad C\in\mathbb{R}\\ (\text{válido para }x\neq k\pi,\\ k\in\mathbb{Z})á

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