Resolva as EDO:
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
O que o problema pede: encontrar todas as funções
que satisfazem a equação acima. Informações relevantes do enunciado:
Passo 2
Colocar a equação em forma padrão (isolar
) em intervalos onde
. Dividindo toda a equação por
(válido apenas para
) obtemos
Explicação didática: a forma padrão para uma EDO de primeira ordem linear é
onde
e
. A ideia prática é encontrar um fator integrante
que transforme o lado esquerdo em uma derivada de produto, o que facilita a integração.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. A fórmula do fator integrante é
Aqui
, então
Portanto
onde podemos tomar
em qualquer intervalo onde
mantém sinal (por exemplo
ou
); note que
sempre, então funciona bem como fator integrante.
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. Fazendo isso obtemos
Observação e verificação: o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Logo podemos reescrever a equação como
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos a igualdade
para obter
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
:
Comentário didático: esta solução vale para
. Note que a forma da solução mostra duas partes: uma solução particular
e a solução geral da homogênea associada
.
Passo 6
Discutir o ponto
(ponto singular). Se tentarmos avaliar a equação original em
, ela se reduz a
Para que a solução encontrada se estenda continuamente a
e satisfaça essa condição, precisamos de
o que só acontece se
. Assim, a única extensão contínua da solução ao ponto
que satisfaz a equação naquele ponto é
Se aceitarmos soluções definidas apenas em intervalos onde
, então
pode ser qualquer constante real.
Passo 7
Resumo e reforço prático (pequeno exemplo extra). Se tivéssemos a equação homogênea
ao dividir por
obtemos
. O mesmo fator integrante
leva a
, logo
e
. Isso mostra de forma simples de onde vem o termo
na solução geral da equação não homogênea original.
Resposta
Se for exigida extensão contínua em