Resolva as EDO:
x y^{\prime}+2 y=10 x^{2}

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
x\,y^{\prime}+2y=10x^{2}.
O que o problema pede: encontrar todas as funções y(x) que satisfazem a equação acima. Informações relevantes do enunciado:
\text{(i)}\; \text{o coeficiente de }y' \text{ é }x,\\ \text{logo não podemos dividir por }x\text{ quando }x=0;éã
\text{(ii)}\; \text{procuramos a solução geral válida em intervalos onde }x\neq0;çãá
\text{(iii)}\; \text{se desejarmos incluir }x=0\text{, teremos que tratar esse ponto separadamente (é um ponto singular).}é

Passo 2

Colocar a equação em forma padrão (isolar y') em intervalos onde x\neq0. Dividindo toda a equação por x (válido apenas para x\neq0) obtemos
y'+\frac{2}{x}\,y=10x.
Explicação didática: a forma padrão para uma EDO de primeira ordem linear é
y'+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x)=\dfrac{2}{x} e Q(x)=10x. A ideia prática é encontrar um fator integrante \mu(x) que transforme o lado esquerdo em uma derivada de produto, o que facilita a integração.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). A fórmula do fator integrante é
\mu(x)=\exp\left(\int P(x)\,dx\right).
Aqui P(x)=\dfrac{2}{x}, então
\int P(x)\,dx=\int \frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=\exp\big(2\ln|x|\big)=|x|^{2}=x^{2},
onde podemos tomar \mu(x)=x^{2} em qualquer intervalo onde x mantém sinal (por exemplo x>0 ou x<0); note que x^{2}>0 sempre, então funciona bem como fator integrante.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=x^{2}. Fazendo isso obtemos
x^{2}y' + 2x y = 10x^{3}.
Observação e verificação: o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{2}y, pois
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=2x y + x^{2}y'.
Logo podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=10x^{3}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Integramos a igualdade
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=10x^{3}
para obter
x^{2}y=\int 10x^{3}\,dx = 10\cdot\frac{x^{4}}{4}+C=\frac{5}{2}x^{4}+C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y:
y=\frac{5}{2}x^{2}+C x^{-2}=\frac{5}{2}x^{2}+\frac{C}{x^{2}}.
Comentário didático: esta solução vale para x\neq0. Note que a forma da solução mostra duas partes: uma solução particular \dfrac{5}{2}x^{2} e a solução geral da homogênea associada \dfrac{C}{x^{2}}.

Passo 6

Discutir o ponto x=0 (ponto singular). Se tentarmos avaliar a equação original em x=0, ela se reduz a
0\cdot y'(0)+2y(0)=0 \quad\Rightarrow\quad y(0)=0.
Para que a solução encontrada se estenda continuamente a x=0 e satisfaça essa condição, precisamos de
\lim_{x\to0}\left(\frac{5}{2}x^{2}+\frac{C}{x^{2}}\right)=0,
o que só acontece se C=0. Assim, a única extensão contínua da solução ao ponto x=0 que satisfaz a equação naquele ponto é
y=\frac{5}{2}x^{2}\quad\text{(com valor }y(0)=0\text{)}.
Se aceitarmos soluções definidas apenas em intervalos onde x\neq0, então C pode ser qualquer constante real.

Passo 7

Resumo e reforço prático (pequeno exemplo extra). Se tivéssemos a equação homogênea
x y'+2y=0,
ao dividir por x obtemos y'+\dfrac{2}{x}y=0. O mesmo fator integrante x^{2} leva a \dfrac{d}{dx}(x^{2}y)=0, logo x^{2}y=C e y=Cx^{-2}. Isso mostra de forma simples de onde vem o termo \dfrac{C}{x^{2}} na solução geral da equação não homogênea original.

Resposta

y=\dfrac{5}{2}x^{2}+\dfrac{C}{x^{2}},\; C\in\mathbb{R} (solução geral válida para x\neq0).
Se for exigida extensão contínua em x=0 que satisfaça a equação em x=0, então y=\dfrac{5}{2}x^{2} (com y(0)=0).

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