Resolva as EDO:
\frac{d y}{d x}+y=e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+y=e^{-x}
e pede encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação. Não há condição inicial fornecida, então queremos a solução geral, isto é, a família de soluções que contém uma constante arbitrária.

Passo 2

Escolho aplicar o método do fator integrante (vou explicar por quê e como ele funciona). Esse método é útil para equações da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
porque permite transformar o lado esquerdo numa derivada de produto, o que facilita a integração. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y = \frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Pelo produto, isto exige \mu'(x)=\mu(x)P(x), cuja solução é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx},
que é o fator integrante.

Passo 3

Identifico na nossa equação os termos P(x) e Q(x):
P(x)=1,\qquad Q(x)=e^{-x}.

Passo 4

Calculo o fator integrante \mu(x) usando a fórmula
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.

Passo 5

Multiplico a equação original por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y = e^{x}e^{-x}.
No lado direito temos e^{x}e^{-x}=1. Pelo produto, o lado esquerdo é exatamente a derivada
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y,
logo a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=1.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx = \int 1\,dx.
A integral da derivada dá a função e^{x}y, e a integral de 1 é x mais constante. Assim
e^{x}y = x + C,
onde C é a constante de integração (uma constante arbitrária que aparece sempre que fazemos uma primitiva).

Passo 7

Isolo y dividindo por e^{x}:
y = e^{-x}(x + C).
Posso também escrever isso como
y = x e^{-x} + C e^{-x},
o que deixa claro que a solução é soma de uma solução particular x e^{-x} e da solução geral da homogênea C e^{-x}.

Passo 8

Faço uma verificação rápida por substituição (útil para a prova): tomo y=e^{-x}(x+C) e calculo \frac{dy}{dx}. Usando regra do produto em y= x e^{-x} + C e^{-x},
\frac{dy}{dx} = e^{-x} + x(-e^{-x}) + C(-e^{-x}) = e^{-x} - (x+C)e^{-x}.
Então
\frac{dy}{dx}+y = \big(e^{-x} - (x+C)e^{-x}\big) + (x+C)e^{-x} = e^{-x},
confirma que a solução está correta.

Passo 9

Resumo didático e dica rápida para a prova: para equações \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) sempre calcule \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}, multiplique e transforme em \frac{d}{dx}(\mu y)=\mu Q. Integre e isole y. Pratique esse passo a passo — ele é direto e rápido quando dominado.

Resposta

y=e^{-x}(x+C)

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