Resolva as EDO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede encontrar a função
que satisfaz essa equação. Não há condição inicial fornecida, então queremos a solução geral, isto é, a família de soluções que contém uma constante arbitrária.
Passo 2
Escolho aplicar o método do fator integrante (vou explicar por quê e como ele funciona). Esse método é útil para equações da forma
porque permite transformar o lado esquerdo numa derivada de produto, o que facilita a integração. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que
Pelo produto, isto exige
, cuja solução é
que é o fator integrante.
Passo 3
Identifico na nossa equação os termos
e
:
Passo 4
Calculo o fator integrante
usando a fórmula
Passo 5
Multiplico a equação original por
:
No lado direito temos
. Pelo produto, o lado esquerdo é exatamente a derivada
logo a equação fica
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
A integral da derivada dá a função
, e a integral de
é
mais constante. Assim
onde
é a constante de integração (uma constante arbitrária que aparece sempre que fazemos uma primitiva).
Passo 7
Isolo
dividindo por
:
Posso também escrever isso como
o que deixa claro que a solução é soma de uma solução particular
e da solução geral da homogênea
.
Passo 8
Faço uma verificação rápida por substituição (útil para a prova): tomo
e calculo
. Usando regra do produto em
,
Então
confirma que a solução está correta.
Passo 9
Resumo didático e dica rápida para a prova: para equações
sempre calcule
, multiplique e transforme em
. Integre e isole
. Pratique esse passo a passo — ele é direto e rápido quando dominado.